【学习笔记】六寒 第7讲 逻辑分析能力提升1

苹果数 ÷ 抽屉数 = 商...余数

（至少有一个抽屉有（商+1）个苹果）

1.基础应用：

求抽屉最多、苹果总数最少、苹果数最多的抽屉最少多少

2.进阶应用

染色问题

如：4行n列方格，每列染2个白色，求n至少多少能保证至少6列染色相同。

分析：

• 先算一列的染色可能：从4行选2行染白，有C(4,2)=6种方式

• 要保证至少6列相同，最坏情况是每种方式先有5列，共5×6=30列

• 再加1列就能保证，所以n至少=30+1=31

得分问题

题目：10道题，答对5分，答对一半3分，答错0分，至少多少人能保证3人得分相同。

分析：

• 最高分：全对50分

• 最低分：全错0分

• 但只有三种得分方式（5分、3分、0分），不同组合可以得到多种总分

• 先算所有可能得分，再按抽屉原理计算

小雨总结

容斥原理核心

1. 两个集合：A+B-A∩B

2. 三个集合：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C

3. 包含"都没有"：记得加上"都不"的人数

抽屉原理核心

1. 基本公式：至少数 = 商 + 1

2. 解题步骤：

• 确定什么是"苹果"（要分配的东西）

• 确定什么是"抽屉"（分配的对象或状态）

• 计算抽屉数量

• 用总数÷抽屉数，得到商和余数

• 结论：至少有一个抽屉有（商+1）个苹果

实用技巧

1. 画韦恩图：帮助理解容斥原理

2. 最不利原则：抽屉原理中考虑最坏情况

3. 从反面思考：有时求"至少"可以从"最多不"的角度考虑

4. 注意包含关系：容斥原理中要理清各部分的包含关系

通过系统学习这两个原理，能够解决很多生活中的实际问题，如统计人数、安排物品、保证某种情况一定发生等，是很重要的数学思维工具。