《容斥原理》学习笔记

一、什么是容斥原理？

容斥原理是一种计数的好方法。容指的是包容包括，斥指的是排斥。其实也就是在解决重叠问题。需要用到很重要的工具图-韦恩图。

韦恩图：

二、两个组的问题（二量容斥）

1. 总 = 圈 + 圈 - 月牙

如：

• 喜欢数学的有15人

• 喜欢语文的有12人

• 两门都喜欢的有5人

• 总人数 = 15 + 12 - 5 = 22人

2. 为什么这样算？

因为"两门都喜欢"的人被数了两次（一次在数学组，一次在语文组），所以要减掉一次。

3. 实际应用

• 班级里喜欢不同科目的同学

• 参加不同兴趣小组的同学

• 会两种乐器的同学

  ......

三、三个组的问题（三量容斥）

1. 总 = 圈 + 圈+ 圈-2个都 -2个都-2个都+3个都

即："加三个，减两两，加三三"

例子：

• 喜欢苹果的有15人

• 喜欢梨的有12人

• 喜欢桃的有10人

• 喜欢苹果和梨的有6人

• 喜欢苹果和桃的有5人

• 喜欢梨和桃的有3人

• 三种都喜欢的有1人

• 总人数 = 15 + 12 + 10 - 6 - 5 - 3 + 1 = 24人

2. 为什么这样算？

• 先加三个组：15+12+10=37

• 但两两都喜欢的人被数了两次，所以要减掉：37-6-5-3=23

• 三种都喜欢的人被减多了（减了3次），所以要补回来：23+1=24

四、容斥最值（最多最少问题）

可以通过画线段比较的方式解决问题

1. 两个组的最值

最多问题：

• 数学优秀36人，语文优秀30人

• 两门都优秀最多 = 30人（让所有语文优秀的人数学也优秀）

最少问题：

• 总人数50人

• 两门都优秀最少 = 36 + 30 - 50 = 16人（让尽量少的人同时优秀）

五、小雨小结

1. 核心思想：数人数时，要小心重复数的人，做到"不重不漏"

2. 两个组：总 = 圈 + 圈 - 月牙

3. 三个组：总 = 圈 + 圈+ 圈-2个都 -2个都-2个都+3个都

4. 最值问题：

• 最多：尽量重叠

• 最少：尽量分开

5. 实用技巧：画圆圈图（韦恩图）帮助理解

容斥原理是解决生活中很多"数人数"问题的好工具，只要灵活使用工具图，就能轻松解决这类问题！