因作者水平有限，解答过程中难免有排版错误、计算错误、逻辑错误，若有发现，还请提醒。

排版错误: 解答过程中的关键字符的多打、少打、错打，可能会影响到正常逻辑的错误即为排版错误。如将  多打为 , 反之即少打;“”错打成“”，“”错打成“”,  错打成 。

计算错误: 解答过程中需要计算的地方出现错误。

逻辑错误: 解答过程中错误使用某些常识或结论、解答过程中的推导不严谨，有漏洞。

另外，在书写过程中，可能因思维跳跃导致某些中间步骤被省略，若该步骤对理解整体思路较为关键，也可能造成理解障碍，但尽量做到步步有据。对于某些复杂问题，解答过程中仍难免“显然”,“易得”。欢迎评论区具体讨论。

诚挚感谢每一位认真阅读并指出错误的读者，你们的反馈是帮助我改进的重要动力。如有发现任何问题，欢迎具体指出，我将及时更正。

若尔当标准形的性质(4,3,3)

正定矩阵的判定方法(2,1,3)

矩阵方程求解(4,1,3)

代数余子式(3,3,3)、矩阵结构(元素)(1,3,3)

矩阵分解(幂等矩阵)(4,2,3)

向量组线性无关的证明(3,3,3)、不可约多项式的应用(1,3,3)、循环子空间(1,3,3)

不变子空间的构造(4,3,3)、不变子空间的构造(4,3,2)

1. 设  是复数域  上的  维线性空间,  是  上的不可逆且非幂零的线性变换.证明:存在-子空间 ,满足 ,且  为可逆变换,  为幂零变换.

答: 由 是复数域上的  维线性空间,  是  上不可逆且非幂零的线性变换, 可知存在  的一组基, 使得

其中  是  非零特征值对应若尔当块组成的  阶矩阵 ,  是  特征值  对应若尔当块组成的  阶矩阵,则矩阵  可逆, 矩阵  幂零.

令 , 则 . 此时  在  的基  下的矩阵为可逆矩阵 , 所以  为  的不变子空间, 且  为可逆变换;  在  的基  下的矩阵为幂零矩阵 , 所以  为  的不变子空间, 且  为幂零变换.

存在系列(2,3,3)