【26版步步高高中数学人教A版必修二学习笔记第八章培优课与球有关的内切、外接问题

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培优课　与球有关的内切、外接问题

［学习目标］　1.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.(重点)2.会求特殊几何体的内切球的相关问题.(难点)

导语

与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.

一、直接法

例1(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，一个底面的周长为3，则这个球的体积为.

答案

解析设正六棱柱的底面边长为x，高为h，

则有∴

∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=

球心到底面的距离d=.

∴外接球的半径R==1.∴V_球=.

(2)在三棱锥A-BCD中，侧棱长均为2，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为.

答案

解析由题意知该三棱锥为正三棱锥，如图所示，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面△BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心，

令O'A=O'D=R，

∵OD=DE=×2×=2，AD=2

∴AO==4，

∴OO'=4-R，

又OO'²+OD²=O'D^2，

∴(4-R)²+4=R²，解得R=

∴V_球=πR³=.

反思感悟找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点.

跟踪训练1正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)

A.B.16πC.9πD.

答案　A

解析如图，设球心为O，半径为r，AE==4-r，则在Rt△AOE中，(4-r)²+()²=r²(或(r-4)²+()²=r²)，解得r=，

∴该球的表面积为4πr²=4π×=.

二、构造法

例2(1)三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且V_{三棱锥A-BCD}=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为.

答案　4π

解析因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体，

则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R.

∵V_{三棱锥A-BCD}=××BC×CD×AB

=×2×CD×2=

∴CD=2，∴该长方体为正方体，

∴AD=2R=

故外接球的体积为V=πR³=4π.

延伸探究若把条件改为三棱锥A-BCD的三个面是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥BD，AB=BC=2，且V_{三棱锥A-BCD}=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为.

答案　4π

解析因为AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD，

构造如图所示的长方体，

则AE为三棱锥A-BCD的外接球的直径，

设外接球的半径为R.

V_{三棱锥A-BCD}=××BC×BD×AB

=×2×BD×2=

∴BD=2，∴该长方体为正方体，

∴AE=2R=

∴外接球的体积为V=πR³=4π.

(2)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有(　　)

A.该半正多面体的体积为

B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为

C.该半正多面体外接球的表面积为8π

D.该半正多面体的表面积为6+2

答案　D

解析如图，因为AB=1，

所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去八个三棱锥所得到的，

所以该半正多面体的体积V=()³-8××××=，故A错误；

根据该半正多面体的对称性可知，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，

又AB=1，所以正六边形的面积S=6××1×1×=，故B错误；

根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，

即正六边形ABCFED的中心，故半径R=1，

所以该半正多面体外接球的表面积为S=4πR²=4π×1²=4π，故C错误；

因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1，

所以其表面积为8××1×1×+6×1²=6+2，故D正确.

反思感悟构造法的解题策略

(1)侧面为直角三角形的四面体或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解.

①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

③正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示.

④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示.

(2)将直三棱锥补成三棱柱求解.

跟踪训练2三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是，则该三棱锥的外接球的体积是(　　)

A.B.C.πD.8π

答案　C

解析三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，

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