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10.1.3 古典概型(一)
［学习目标］ 1.理解古典概型的概念及特点，会判断古典概型.2.掌握古典概型概率公式，能利用公式解决简单的概率计算问题.(重点、难点)
导语
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？本节课我们就来学习一下！
一、古典概型的定义
问题1我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
提示 样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.
知识梳理
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
则称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间［1，10］内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.
解(1)不是古典概型，因为区间［1，10］中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾.
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每个样本点发生的可能性相等”矛盾.
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.
反思感悟古典概型需满足两个条件
(1)样本点总数有限.
(2)各个样本点出现的可能性相等.
跟踪训练1 (多选)下列试验中是古典概型的是( )
A.抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1个球
C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点
D.射击运动员向一靶心进行射击，观察其环数
答案 AB
解析选项A，正面和反面出现的概率相同，是古典概型；选项B，每个球被抽到的概率相等，是古典概型；选项C，样本点有无限个，不是古典概型；选项D，命中10环，9环，…，0环的概率不等，不是古典概型.
二、古典概型概率的计算
问题2在掷骰子的试验中，记事件A为“点数为偶数”，事件A包含哪些样本点？事件A发生的概率是多少？
提示A=｛2，4，6｝.
对于掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P(A1)=P(A2)=…=P(A6)，又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=P(必然事件)=1，所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=
(A)=
=
.
知识梳理
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=
=
.
例2一个口袋内装有大小相同的1个白球和3个黑球，从中摸出2个球.求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率.
解(1)将3个黑球编号为A1，A2，A3，白球编号为B，则从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω=｛(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，B)，(A3，B)｝，共有6个样本点，所以n=6.
(2)事件“摸出2个黑球”=｛(A1，A2)，(A2，A3)，(A1，A3)｝，共有3个样本点.
(3)样本点的总数n=6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数k=3，故P=
=
，即“摸出2个黑球”的概率为
.
反思感悟利用古典概型的概率计算公式计算概率的步骤
(1)确定样本空间的样本点的总数n.
(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.
(3)P(A)=
.
跟踪训练2 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是.
答案
解析从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛中的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率P=
=
.
三、较复杂的古典概型的概率计算
例3某数学兴趣小组共有5名学生，其中有3名男生A1，A2，A3，2名女生B1，B2，现从中随机抽取2名学生参加比赛.
(1)写出试验的样本空间；
(2)抽取的学生中恰有一男生一女生的概率是多少？
解(1)试验共有10种等可能的结果，因此该试验的样本空间Ω=｛(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)｝，共10个样本点.
(2)记事件“抽取的学生中恰有一男生一女生”为A，则A=｛(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)｝，所以n(A)=6，因此P(A)=
=
.
反思感悟在求古典概型的概率时，若事件可以表示成集合的形式，则可以用列举的方式把样本点一一列出来，注意做到不重不漏，有时也可以借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.
跟踪训练3 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，
则所求事件的概率P=
=
.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.其中包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率P=
.
知识清单：
(1)古典概型.
(2)古典概型的概率公式.
2.方法归纳：列举法、列表法、树状图法.
3.常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.
1.下列试验中是古典概型的是( )
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率
C.在区间［1，4］上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
答案 D
解析 A，B两项中的样本点的出现不是等可能的，故A，B不是；C项中样本点的个数有无限多个，故C不是；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个，故D是.
2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是( )
A.0.02B.0.05
C.0.1D.0.9
答案 C
解析由题意知，该题是一个古典概型，因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型的概率公式求得概率是
=0.1.
3.将一枚骰子先后投掷两次，两次向上的点数之和为5的倍数的概率为.
答案
解析将一枚骰子投掷两次，样本点总数为6×6=36，且每个样本点出现的可能性相等，其中“将一枚骰子投掷两次，两次向上的点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(6，4)，(4，6)，共7个，故所求概率为
.
4.从a，b，c，d四名学生中任选两名去参加不同的活动，则选到学生a的概率为.
答案
解析所有样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个.其中选到学生a的样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，共3个，所以所求事件的概率P=
.
课时对点练 ［分值：100分］
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分
1.下列是古典概型的是(
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