n
第2课时 夹角问题
[学习目标] 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角(重点).2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．
一、两异面直线所成的角
问题1 如何用空间向量求两条异面直线所成的角？
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝________＝________.
例1 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成角的大小．
反思感悟 求异面直线所成角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A.30)10B.30)15C.30)30D.15)15
二、直线与平面所成的角
问题2 如何用空间向量求直线和平面所成的角？
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝________＝________＝________.
例2 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)设线面角为θ，则sin θ＝ |u·n||u||n|.
跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
三、两个平面的夹角
问题3 两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？
问题4 两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝________＝________.
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥平面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值．
反思感悟 求两平面夹角的两种方法
(1)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉
\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π2)))时)或π－〈n1，n2〉
\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π2)，π))时).
(2)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
跟踪训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝12AD＝1，CD＝3.
(1)求证：PQ⊥AB.
(2)求平面PQB与平面MQB夹角的余弦值．
1．知识清单：
(1)两异面直线所成的角．
(2)直线与平面所成的角．
(3)平面与平面的夹角．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围．
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为5π6，则l1与l2所成的角为( )
A.π6B.5π6
C.π6或5π6D．以上均不对
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，2，0)，n＝(2，2，2)，则两平面所成的二面角为( )
A．60°B．30°或150°
C．60°或120°D．90°
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A.6)3B.2)3C.3)3D.13
4.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，→＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________.
通过网盘分享的文件：同步PPT课件等3个文件
链接: https://pan.baidu.com/s/11gpipl9e-tDwUY1eCd5Njw?pwd=4321 提取码: 4321
--来自百度网盘超级会员v8的分享
