7.3.1 离散型随机变量的均值
［学习目标］ 1.掌握离散型随机变量的均值的概念和性质.2.掌握两点分布的均值.3.会利用离散型随机变量的均值和性质，解决一些相关的实际问题.
一、离散型随机变量的均值
问题1某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10，则所得的平均环数是多少？
知识梳理
(1)均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
则称E(X)==
xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称.
(2)两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=.
例1(1)某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是( )
A.0.2B.0.8C.1D.0
(2)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.
如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值，并求李明在一年内领到驾照的概率.
反思感悟求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.
(2)求出X取每个值的概率P(X=k).
(3)写出X的分布列.
(4)利用均值的定义求E(X).
跟踪训练1从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中随机逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值.
二、均值的性质
问题2若X，η都是离散型随机变量，且η=aX+b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？
知识梳理
离散型随机变量的均值的性质
若Y=aX+b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX+b)=.
例2已知随机变量X的分布列为
若Y=-2X，则E(Y)=.
延伸探究
1.本例条件不变，若Y=2X-3，求E(Y).
2.本例条件不变，若Y=aX+3，且E(Y)=-
，求a的值.
反思感悟求线性关系的随机变量η=aξ+b的均值的方法
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.
(2)性质法：直接套用公式，E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b，求解即可.
跟踪训练2(1)已知Y=5X+1，E(Y)=6，则E(X)的值为( )
A.
B.5C.1D.31
(2)已知随机变量ξ和η，其中η=12ξ+7，且E(η)=34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为( )
ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | 
| m | n | 
|
A.
B.
C.
D.
三、均值的应用
例3某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示：
(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；
方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示：
等级 | 珍品 | 特级 | 优级 | 一级 |
售价(元/kg) | 25 | 20 | 15 | 10 |
从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？
反思感悟解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相应均值.
跟踪训练3某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券.然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖.
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