7.1.1 条件概率
［学习目标］ 1.结合古典概型，掌握条件概率的定义，能计算简单随机事件的条件概率.2.掌握概率的乘法公式.3.会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质.
一、条件概率的概念与计算
问题1抛掷一枚质地均匀的硬币两次.
(1)两次都是正面向上的概率是多少？
(2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？
(3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
知识梳理
1.条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2.条件概率的计算方法
(1)定义法：P(B|A)=.
(2)缩小样本空间法：P(B|A)=
.
例1(1)判断下列几种概率哪些是条件概率：
①某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一学生的概率；
②掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率；
③在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率.
(2)集合A=｛1，2，3，4，5，6｝，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
反思感悟(1)判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的.
(2)计算条件概率的方法
①定义法：分别计算概率P(AB)和P(A)，将它们相除得到条件概率P(B|A)=
.
②缩小样本空间法：
缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB.
数：数出A中事件AB所包含的样本点个数.
算：利用古典概型求P(B|A)=
(AB)与n(A)是缩小样本空间的计数.
跟踪训练1(1)下面几种概率是条件概率的是( )
A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B.一个盒子中有5个白球、3个红球，从中任取2个球，则在所取的球中有一个是红球的条件下，另一个也是红球的概率
C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是
，小明在一次上学中遇到红灯的概率
(2)10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲、乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为( )
A.
B.
C.
D.
二、概率的乘法公式
问题2对于任意两个事件A和B，如果已知P(A)(P(A)>0)和P(B|A)，如何计算P(AB)？
知识梳理
概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)= .
例2一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求：
(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
反思感悟应用乘法公式求概率的关注点
(1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
(2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)·P(B|A)P(A).
跟踪训练210个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙都抽到难签的概率；
(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率.
三、互斥事件的条件概率
知识梳理
条件概率的性质：
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)=.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=.
(3)设
和B互为对立事件，则P(
|A)=.
例3在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
反思感悟(1)利用互斥事件的条件概率加法公式可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“两个事件互斥”.
(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.
跟踪训练3抛掷两颗质地均匀的骰子各一次.
(1)两颗骰子向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？
(2)两颗骰子向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？
1.知识清单：
(1)条件概率的概念与计算.
(2)概率的乘法公式.
(3)互斥事件的条件概率.
2.方法归纳：定义法、缩小样本空间法、正难则反.
3.常见误区：
(1)分不清在“谁的条件”下，求“谁的概率”.
(2)判断两个事件是否是互斥事件.
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