7.4.1 二项分布
［学习目标］ 1.理解n重伯努利试验的概念，记住n重伯努利试验的公式.2.理解并熟记二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题.4.掌握二项分布概率最值问题.
一、n重伯努利试验的概念及特征
问题1下列试验有什么共同的特点？
(1)投掷一枚质地均匀的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；
(2)某同学玩射击气球游戏，每个气球射击一次，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个；
(3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次.
知识梳理
1.n重伯努利试验：将一个伯努利试验进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2.n重伯努利试验的共同特征：
(1)同一个伯努利试验做n次；
(2)各次试验的结果.
例1判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中.
反思感悟n重伯努利试验的判断依据
(1)试验是在相同的条件下重复进行.
(2)每次试验相互独立，互不影响.
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或不发生.
跟踪训练1(多选)下列试验是n重伯努利试验的是( )
A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.一批产品的次品率为1%，有放回地随机抽取20件
D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
二、二项分布的概念及表示
问题2连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？
问题3 类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k=0，1，2，3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？
知识梳理
二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)= ，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).
例2“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列.
反思感悟求n重伯努利试验概率的三个步骤
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验.
(2)分析：判断所求事件是否需要拆分.
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.
跟踪训练2现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率.
三、二项分布的均值与方差
问题4若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
知识梳理
1.若X服从两点分布，则E(X)= ，D(X)=.
2.若X~B(n，p)，则E(X)= ，D(X)=.
例3(1)已知X~B(10，0.5)，Y=2X-8，则E(Y)等于( )
A.6B.2C.4D.3
(2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是
.
①分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
②在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差.
反思感悟解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步是代入相应的公式进行求解.
跟踪训练3某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为
，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次.
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