【26版步步高同步数学人教A版学习笔记选择性必修一第一章1.1.2空间向量的数量积运算

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1.1.2　空间向量的数量积运算

[学习目标]　1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点).3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离(难点)．

一、空间向量的数量积运算

1．空间向量的夹角

注意：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．

2．(1)空间向量的数量积

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝_______________．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝____________.

(2)运算律

3.向量的投影

(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝_______________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．

(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量———→，向量———→称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，———→的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．

例1　(1)在正四面体ABCD中，→与→的夹角等于(　　)

A．30°B．60°C．150°D．120°

(2)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：

①→·→；②→·→；③→·→；④→·→.

反思感悟　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．

跟踪训练1　(1)已知空间向量|a|＝13，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－13)65，则a在b上的投影向量为(　　)

A．－13)13bB.13)13b

C.925bD．－925b

(2)若a，b，c为空间中两两夹角为π3的单位向量，→＝2a－2b，→＝b－c，则→·→＝________.

二、空间向量数量积的应用

问题　类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质．

例2　(1)已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a－b＋2c|等于(　　)

A．5B．6C.5D.6

(2)如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．

反思感悟　用数量积求两点间距离的步骤

(1)将两点确定的线段用向量表示；

(2)用其他向量表示此向量；

(3)用|a|＝a2求解．

跟踪训练2　已知在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC₁的长为(　　)

A．6B.6C．3D.3

三、垂直问题

例3　(1)若非零向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(　　)

A．m∥n

B．m⊥n

C．m不平行于n，m也不垂直于n

D．以上三种情况都有可能

(2)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB.

反思感悟　对于非零空间向量a，b，通常可利用“a⊥b⇔a·b＝0”这一关系完成向量垂直与数量积的转化．

跟踪训练3　(1)若空间向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－\a\vs4\al\co1(\f(a·aa·b))b，则向量a与c的夹角为(　　)

A．0B.π6C.π3D.π2

(2)如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是C₁D_1，D1D的中点，正方体的棱长为1.求证：—→⊥→.

1．知识清单： 

(1)空间向量的夹角、投影．

(2)空间向量数量积的性质及运算律．

(3)空间向量的垂直．

2．方法归纳：化归转化．

3．常见误区：

(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．

(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.

1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) 

A.→与—→

B.→与—→

C.→与—→

D.→与—→

2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈→，→〉的值为(　　)

A.12B.2)2C．－12D．0

3．已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直．若m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n的值为(　　)

A．7B．－20C．28D．11

4.如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，设AD＝AA₁＝1，AB＝2，P是C₁D₁的中点，则—→与—→所成角的大小为________，—→·—→＝________.

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