【26版步步高高中数学人教A版必修二学习笔记第八章8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理

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8.6.3　平面与平面垂直

第1课时　平面与平面垂直的判定定理

［学习目标］　1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.(重点、难点)2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.(重点)3.能利用面面垂直的判定定理解决一些综合问题.(难点)

导语

回顾两条直线垂直的定义，要先定义角的概念，利用两条直线所成角的特殊情况研究直线垂直，因此，定义两平面垂直，我们先从二面角开始.

一、二面角的概念

问题1　你能举出哪些两个平面相交的例子？

提示　卫星的轨道平面与地球的赤道平面、教室的墙面与地面等等.

问题2　我们通常说“把门开大一些”(动手演示教室的门)，是指哪个角大一些？如何去刻画二面角的大小呢？

提示　指门与门框所成的二面角大一些.取二面角棱l上的一点O在二面角的面上分别作射线OA，OB与二面角的棱垂直，得到∠AOB可以刻画二面角.

问题3　∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？

提示　无关.

知识梳理

1.二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

2.画法：

3.记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q.

4.二面角的平面角

(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图.

(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

例1已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.求：

(1)二面角B-PA-D的平面角的大小；

(2)二面角B-PA-C的平面角的大小；

(3)二面角A-PD-C的平面角的大小.

解(1)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴AB⊥PA，AD⊥PA.

∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.

又四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°，

∴二面角B-PA-D的平面角为90°.

(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

AC⊂平面ABCD，

∴AB⊥PA，AC⊥PA.

∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.

又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°.

即二面角B-PA-C的平面角为45°.

(3)如图，取PD，PC的中点分别为O，M，连接AO，MO，

∵PA⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥AD，PA⊥CD，

又PA=AB=AD，∴AO⊥PD.

∵PA⊥CD，又AD⊥CD，

AD，PA⊂平面PAD，AD∩PA=A，

∴CD⊥平面PAD，

又PD⊂平面PAD，

∴CD⊥PD，又∵OM∥CD，

∴OM⊥PD，OM⊥平面PAD，

∴OM⊥OA，又∵PD是二面角A-PD-C的棱，

∴∠AOM为二面角A-PD-C的平面角，即为90°.

反思感悟(1)确定二面角的平面角的方法

①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.

②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角.

③垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角.

(2)求二面角大小的步骤

①找出这个平面角.

②证明这个角是二面角的平面角.

③作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小.

跟踪训练1如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小.

解由已知得PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.

又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC.

又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.

又BC是二面角P-BC-A的棱，

∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.

由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形.

∴∠PCA=45°，故二面角P-BC-A的大小为45°.

二、平面与平面垂直的定义及应用

问题4教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？这些二面角的大小是多少？

提示　可以构成3个二面角，分别是两相邻墙面构成的二面角，一个墙面与地面构成的二面角，另一个墙面与地面构成的二面角.它们构成的二面角是直二面角，即二面角的度数为90°.

知识梳理

平面与平面垂直的定义与画法

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β.

(2)画法：

例2如图所示，在四面体A-BCD中，BD=a，AB=AD=CB=CD=AC=a.

求证：平面ABD⊥平面BCD.

证明∵AB=AD=CB=CD=a，

∴△ABD与△BCD是等腰三角形.

取BD的中点E，连接AE，CE，如图，

则AE⊥BD，BD⊥CE.

∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.

在Rt△ABD中，AB=a，

BE=BD=a，∴AE==a.

同理CE=a.

在△AEC中，AE=CE=a，AC=a，

∴AC²=AE²+CE^2，

∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，

即二面角A-BD-C的平面角为90°.

∴平面ABD⊥平面BCD.

反思感悟用定义证明两个平面垂直的步骤

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