【26版步步高同步数学人教A版学习笔记选择性必修一第三章3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质

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3.1.2　椭圆的简单几何性质

第1课时　椭圆的简单几何性质

[学习目标]　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何性质解决相关问题(重点)．

一、椭圆的几何性质

问题1　观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？

问题2　扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e＝ca来刻画椭圆的扁平程度．请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？

椭圆的离心率：e＝_____∈(0,1)．

例1　设椭圆方程mx²＋4y²＝4m(m＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．

反思感悟　用标准方程研究椭圆几何性质的步骤

(1)将椭圆方程化为标准形式．

(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)

(3)求出a，b，c.

(4)写出椭圆的几何性质．

跟踪训练1　(多选)已知椭圆C的两个焦点坐标分别为(－2,0)，(2,0)，离心率为e，则(　　)

A．e越接近于0，则C就越接近于圆

B．e越接近于1，则C就越接近于圆

C．若C经过点\a\vs4\al\co1(2，－\f(3\r(10)5))，则C的长轴长为210

D．若e＝12，则C的长半轴长为8

二、由椭圆的几何性质求标准方程

例2　分别求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；

(2)过点(3,0)，离心率e＝6)3.

反思感悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤

(1)确定焦点位置．

(2)设出相应椭圆的标准方程．

(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．

(4)写出椭圆的标准方程．

跟踪训练2　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．

(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝23，则椭圆的标准方程是__________．

三、求椭圆的离心率

例3　设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F_1，F2，P是椭圆C上的点，PF₂⊥F₁F_2，∠PF₁F₂＝30°，则椭圆C的离心率为________．

延伸探究　

1．若将本例中“PF₂⊥F₁F_2，∠PF₁F₂＝30°”改为“∠PF₂F₁＝75°，∠PF₁F₂＝45°”，求椭圆C的离心率．

2．若将本例中“PF₂⊥F₁F_2，∠PF₁F₂＝30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F₁PF₂为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围．

反思感悟　求椭圆的离心率及离心率的取值范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a²＝b²＋c²求出c或a，再代入公式e＝ca求解．

(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a²＝b²＋c²，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．

跟踪训练3　椭圆的左、右焦点分别为F_1，F2，过点F₁作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN的长为185，若△MF₂N的周长为20，则椭圆的离心率为(　　)

A.2)5B.35C.45D.7)5

1．知识清单：

(1)椭圆的简单几何性质．

(2)由椭圆的几何性质求标准方程．

(3)求椭圆的离心率．

2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)．

3．常见误区：忽略椭圆离心率的取值范围0＜e＜1及长轴长与a的关系．

1．(多选)已知椭圆C：16x²＋4y²＝1，则下列结论正确的是(　　)

A．长轴长为12

B．焦距为3)4

C．焦点坐标为\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3)4))

D．离心率为3)2

2．已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为(　　)

A.x236＋y227＝1B.x26＋y23＝1

C.x227＋y236＝1D.x29＋y26＝1

3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)

A.12B.3)2C.3)4D.6)4

4．若椭圆C：x2m＋y2m2－1＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________．

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