【26版步步高同步数学人教A版学习笔记选择性必修一第一章1.1.1第2课时共线向量与共面向量

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第2课时　共线向量与共面向量

[学习目标]　1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件(重点).3.会证明空间三点共线、四点共面(难点)．

一、空间向量共线的充要条件

问题1　两个平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？

1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__________.

2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得→＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的____________，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示．

例1　(1)若P，A，B，C为空间四点，且有→＝α→＋β→，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则→与→是否共线？

反思感悟　(1)判断两向量a，b(b≠0)是否共线，就是判断是否存在实数λ，使a＝λb成立．

(2)证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立．

跟踪训练1　(1)满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　)

A.→＋→＝→B.→－→＝→

C.→＝→D．|→|＝|→|

(2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且→＝23→，→＝23→.求证：四边形EFGH是梯形．

二、空间向量共面的充要条件

问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？

问题3　对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb?

1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段→所在的直线OA____________或____________，那么称向量a平行于平面α.

2．共面向量

例2　(1)如图所示，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A_{1，B，N，M}四点共面．

(2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式→＝x→＋y→＋z→，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1.

反思感悟　向量共面的判定及应用

(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明．

①→＝x→＋y→；

②对于空间任意一点O，→＝x→＋y→＋z→(x＋y＋z＝1)．

(2)若已知点P在平面ABC内，则有→＝x→＋y→或→＝x→＋y→＋z→ (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．

跟踪训练2　(1)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且→＝m→＋→＋→，则m的值为(　　)

A．－1B．2C．－2D．－3

(2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝13BD，AN＝13AE.求证：向量→，→，→共面．

1．知识清单：

(1)直线的方向向量．

(2)空间向量共线的充要条件．

(3)空间向量共面的充要条件．

(4)三点共线、四点共面的证明方法．

2．方法归纳：转化化归、类比．

3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．

1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　)

A．共面向量

B．共线向量

C．不共面向量

D．既不共线也不共面的向量

2．(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)

A.→＝3→－→－→

B.→＝15→＋13→＋12→

C.→＋→＋→＝0

D.→＋→＋→＋→＝0

3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有→＝x→＋13→＋13→，则x的值为(　　)

A．1B．0C．3D.13

4．在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是底面A₁B₁C₁D₁和侧面CC₁D₁D的中心，若→＋λ—→＝0(λ∈R)，则λ＝________.

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