拉回丛的定义

设 是两个光滑流形, 给定映射, 以及的切丛到的投影, 由这两个映射之间的关系, 定义拉回丛:

在给出拉回丛的定义之后，我们可以定义的投影映射 , 以及所诱导的拉回.

: 这里定义诱导映射的方法是: 对于每个，我们将对应于, 由此我们得到从到的映射.并且我们自然的可以得到如下的交换图:

拉回丛的截面

在给了拉回丛的定义之后，为了进行进一步的讨论，自然要对每点定义其附近的一个局部标架, 我们有以下两种方法得到.

(1)给定 ,  我们可以定义:

按照此种定义方法, 若我们取定附近 的一组标架, 则可以得到附近 的一组标架.在接下来我们将多次使用该技巧.因此需要牢记. 给定, 我们可以定义:

在给出了上面两种定义的截面的方法之后，我们自然想知道，这两种方法有何关系？从其映射的构造方式上来看，不难看出，第一种定义方式是先将映射到上，再将其与中的元素进行配对，第二种定义方式是先与中向量做配对之后用打到上，并且更进一步有：

i.e.   是相关的.

在微分流形课程中，我们学过，若, ,  与分别是相关的，则其Lie括号也是相关的，因此有：

定理

若, , 则. 在给出了上述命题之后，为了将其推广到更一般的情形，取为附近上的一个标架，由，我们知道是附近上的一个标架.

定理

若, 则我们有:

证明

,

这里,

从而由选取的任意性，我们有交换得:.代入(我们得到:

交换得:

将此结果代入(), 得到:

这就是我们要的结果, 命题中的公式在后续计算截面上联络的曲率张量等地方会使用.

拉回丛上的诱导联络

在定义了拉回丛的截面之后，我们就可以定义其上面的联络, 下面我们假设是Rie.mfd, :

命题

给定任意上的联络, 则存在由所诱导的上的唯一联络, 适合

其中.

证明

首先证明唯一性，假设联络存在，任取以及附近的局部标架, 则 是附近的的一个局部标架，在的局部邻域上由下式给出:

从而任取,由(),

因此完全由决定，故唯一.

为证明其存在性，我们只需要证明()的定义与坐标的选取无关，这样用单位分解定理把局部定义的联络拼在一起就可以得到了, 不妨记是附近的另一个局部标架，且与的交集非空, 不妨记, 从而对任意, 有

即我们有关系:, 代入(), 得到:

因此定理得证.

下面我们可以正式给出上联络的定义:

定义

对于任意光滑映射及上的线性联络 , 存在唯一定义于上的线性联络, 我们称其为(通过)在上的诱导联络.

当计算线性联络时, 我们总会先取定附近上的一组标架, 然后由其诱导上的标架, 因此我们把式()改写为: \Proposition{}取定附近上的一组标架.假设适合, 则对任意，有:

诱导联络的基本性质

在定义了诱导联络之后，我们自然会讨论一些诱导联络相关的性质，这部分主要介绍三个从原先联络所继承来的性质: 即上曲率算子所诱导来的曲率算子, 以及若是联络，还有部分“无挠性”以及与上由上Rie.度量诱导的Rie. 度量的相容性.

拉回丛上的曲率张量

首先我们给出的曲率算子:

这里, \Proposition{\label{1.6}}设是上的联络，是其在上的诱导联络,从而成立有:

证明

由的定义进行张量计算即可获得，为简化，我们可以取是附近一组满足的标架.

诱导联络的无挠性

尽管在一般的向量场上, 中显然是不可交换的, 但若我们对所在的空间做出限制, 假设其在内, 并且仅对于这一部分截面来讨论, 则我们可以定义诱导联络的部分无挠性: \Proposition{\label{1.7}}若是上的无挠联络, 则其诱导联络在拉回丛上是部分无挠的, 即满足对,

证明

记是在附近的一组标架, 其诱导出附近上的一组标架, 不妨设在此处有局部表示:

由此其在E上诱导联络下为:

互换换以及得到:

从而将上面两式相减, 再由的无挠性, 得到:

其中最后一个等号来自于.

诱导联络的度量相容性

在这部分最后, 我们验证度量相容性, 首先定义拉回丛上的诱导度量, 假设是Rie.mfd,  是Rie. 度量, 则我们可以定义上的度量, 对每个. 容易验证其满足Rie. 度量所要求的性质. 定义了上的Rie. 度量之后,有以下命题成立:

命题

记是上的Rie. 度量, 是上与相容的联络, 则在拉回丛上, 由所诱导的Rie. 度量与诱导联络也是度量相容的, i.e.

证明

只需要证明其在每点处成立即可, 记是在附近的一组标架, 其诱导出附近上的一组标架, 不妨设

从而有:

由上式, 度量相容性得证.

测地线的重新解释

设是一条分段光滑曲线, 在之前, 我们定义测地线的概念通过, 同时在定义时, 要求是一条嵌入曲线, 这是为了保证确实是沿着的向量场, 但我们导出的测地方程的形式是:

该定义并不需要曲线是嵌入的, 如是一条常值曲线, 显然其满足测地方程但是却不是嵌入曲线. 因此我们需要把测地线的概念推广到非嵌入曲线以对此现象做解释, 下面不妨记的坐标是.并且在此处我们给出该特例下的交换图:

定义

设是分段光滑曲线.

(a)称是沿曲线的光滑向量场, 若任取, .即X是的截面.(b)设是沿曲线的光滑向量场, 我们通过拉回丛定义向量场的平行: 称X 是沿 平行的, 若

注意到总是沿平行的 ,因此我们可以做出如下定义:

定义

称分段光滑曲线是测地线, 若 是沿平行的, 即满足:

并且上述定义当是嵌入曲线时退化为原先测地线的定义.

曲线的变分

在给出定义之前我们先给出其交换图:

设

是一个光滑映射, 其由曲线变分得到, i.e. , 对的微分做如下定义:

即其为由所诱导的拉回丛的截面.特别的有

即在处关于的微分就是原来曲线的微分, 在有了关于的微分之后, 我们自然希望有在此处关于的微分,从而我们可以定义上诱导联络的部分无挠性, 并进行进一步操作, 因此做出以下定义: \Definition 称是沿的变分场. 在有了上述定义之后, 应用式 (\e{1})()() , 得到:

命题

设是任意曲线的光滑变分, 则我们有:

(a)任取,

特别的有

(b) 若是无挠的, 则

即