【26版步步高同步数学人教A版学习笔记选择性必修一第三章3.3.2第2课时直线与抛物线的位置关系

n

第2课时　直线与抛物线的位置关系

[学习目标]　1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题．(难点)

一、直线与抛物线的位置关系

问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系．

设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y²＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k²x²＋2(km－p)x＋m²＝0.

(1)若k≠0，当____________时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当____________时，直线与抛物线相切，有一个切点；

当____________时，直线与抛物线相离，没有公共点．

(2)若k＝0，直线与抛物线有____________交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．

例1　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y²＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．

反思感悟　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点．

跟踪训练1　过点(2，－1)且与抛物线y＝x²只有一个公共点的直线共有(　　)

A．1条B．2条C．3条D．4条

二、弦长问题

问题2　过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x_1，y1)，B(x_2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图．如何求弦AB的长度？

例2　已知抛物线方程为y²＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．

延伸探究　若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．

反思感悟　求抛物线弦长的方法

(1)统一弦长公式：|AB|＝1＋k2|x₁－x₂|或|AB|＝1k2)|y₁－y₂|.

(2)焦点弦长：在抛物线y²＝2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x_1，y1)，B(x_2，y2)，则|AB|＝x₁＋x₂＋p.

跟踪训练2　(1)若抛物线y²＝12x与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，则|AB|等于(　　)

A．233B．12C.165D．13

(2)若直线y＝kx－2与抛物线y²＝8x交于A，B两点，|AB|＝8，则k＝________.

三、抛物线的中点弦问题

例3　过点Q(4,1)作抛物线y²＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．

反思感悟　解决中点弦问题常用方法

跟踪训练3　已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若弦AB的中点为(2,2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为__________________．

1．知识清单：

(1)直线和抛物线的位置关系．

(2)抛物线中的弦长问题．

(3)中点弦问题．

2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．

3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．

1．已知直线l与抛物线x²＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　)

A．相交B．相切

C．相离D．相交或相切

2．过原点且与抛物线y²＝x只有一个公共点的直线有(　　)

A．1条B．2条C．3条D．无数条

3．若直线x－y＝2与抛物线y²＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________. 

4．直线y＝kx＋2与抛物线y²＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.

通过网盘分享的文件：同步PPT课件等3个文件

链接: https://pan.baidu.com/s/11gpipl9e-tDwUY1eCd5Njw?pwd=4321 提取码: 4321 

--来自百度网盘超级会员v8的分享