【26版步步高同步数学人教A版学习笔记选择性必修一第一章1.4.1第3课时空间中直线、平面的垂直

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第3课时　空间中直线、平面的垂直

[学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系(重点)．

一、直线与直线垂直

问题1　如图，直线l_1，l2的方向向量分别为u_1，u2，直线l_1，l2垂直时，u_1，u2之间有什么关系？

设直线l_1，l2的方向向量分别为u_1，u2，则l₁⊥l₂⇔________⇔________.

例1　如图，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN＝14CC₁.求证：AB₁⊥MN.

反思感悟　证明两直线垂直的基本步骤

(1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．

(2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．

跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为AC的中点．

求证：(1)BD₁⊥AC；

(2)BD₁⊥EB₁.

二、直线与平面垂直

问题2　如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？

设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔________⇔∃λ∈R，使得________.

例2　如图所示，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BB_1，D1B₁的中点．求证：EF⊥平面B₁AC.

反思感悟　若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行．

证明线面垂直的方法：

(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．

(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．

(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．

跟踪训练2　如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是边长为2的等边三角形，CC₁＝2，D，E分别是线段AC，CC₁的中点，C₁在平面ABC内的射影为D.求证：A₁C⊥平面BDE. 

三、平面与平面垂直

问题3　设n_1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n_1，n2之间有什么关系？

设平面α，β的法向量分别为n_1，n2，则α⊥β⇔________⇔________.

例3　如图，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 

反思感悟　证明面面垂直的两种方法

(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．

(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．

跟踪训练3　如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 

1．知识清单：

(1)直线与直线垂直的向量表示及应用．

(2)直线与平面垂直的向量表示及应用．

(3)平面与平面垂直的向量表示及应用．

2．方法归纳：转化法、法向量法．

3．常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆．

1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行B．垂直

C．相交但不垂直D．无法确定

2．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　)

A．4B．－4C．5D．－5

3.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．

4．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝13，SB＝29，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”)

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