6.3.1 二项式定理
［学习目标］ 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
一、二项式定理的正用与逆用
问题在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+
a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？
知识梳理
二项式定理
(a+b)n=______________________________，n∈N*.
(1)这个公式叫做二项式定理.
(2)展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，展开式中一共有项.
(3)二项式系数：各项的系数
(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
(4)通项：(a+b)n展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作Tk+1=.
例1(1)求
的展开式.
(2)化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
延伸探究若将例1(2)中的式子变为“1-2
+4
-8
+…+(-2)n
”，求化简结果.
反思感悟(1)(a+b)n的二项展开式有n+1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
跟踪训练1(1)求
的展开式.
(2)化简：
(x+1)n-
(x+1)n-1+
(x+1)n-2-…+(-1)k
(x+1)n-k+…+(-1)n
.
二、二项式系数与项的系数
例2在二项式
的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数；
(2)求展开式中x-1的系数.
反思感悟正确区分二项式系数与项的系数
二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是指
，只与项数有关，与a，b的值无关，二项式系数的值恒为正；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，不仅与项数有关，还与a，b的值有关，系数的值可正可负.
跟踪训练2已知
的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含
项的系数.
三、二项展开式中的特定项
例3在二项式
的展开式中，求：
(1)第4项；(2)常数项；
(3)有理项；(4)中间项.
反思感悟(1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk=
an-k+1bk-1(k∈N*，k≤n+1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项.
(2)求二项展开式的特定项的解题思路
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
跟踪训练3已知在
的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
1.知识清单：
(1)二项式定理的正用与逆用.
(2)二项式系数与项的系数.
(3)二项展开式中的特定项.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：二项式系数与系数的区别，
an-kbk是展开式的第k+1项.
1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是( )
A.2nB.2n+1
C.2n-1D.2(n+1)
2.(x-y)6的展开式的第3项是( )
A.
x4y2B.
x2y4
C.
x3y3D.-
x3y3
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