2D 线弹性：从强形式到弱形式
这篇我们可以将第一篇中 1D 结构强形式与弱形式的推导思路搬过来。可以理解为把原来的一根 杆 的拉伸扩展为一块 薄板 的拉伸，即未知量从一个位移 扩展为两个位移分量 。
1. 微积分回顾
很多教材一会儿写成向量箭头，一会儿写成矩阵粗体，很容易被符号绕晕。因此我们先约定：
- • 粗体 ： 列向量/矩阵表示，更偏向计算或代码实现。
1.1 向量
假设沿着 和 的单位向量分别表示为 和 ，那么二维向量表示为：
点积（scalar product):
梯度算子（Gradient)：
对标量场 ：
散度(Divergence)将向量场压成标量：
1.2 矩阵
把同一个向量写成列向量：
点积变成矩阵乘法：
梯度算子写成列向量：
对标量场 ：
散度(Divergence)：
1.3 一个关键公式
与 1D 中的分部积分类似，我们最需要的其实就一个公式：
把 这种体积分转换为边界上的积分 + 另一个体积分。
我们从一个非常常见的乘积求导开始：
对整个区域 积分：
再用散度定理（把左边体积分变成边界积分）：
将 Eq.13 代入 Eq.12 并整理即可得 格林公式（Green’s formula）：
格林定理（Green’s theorem）
散度定理（Divergence theorem）
2. 强形式
先明确未知量：二维位移场（两个分量）
线弹性常见假设：
2.1 几何方程
下图表示 应变 本质上就是 位移在空间里的变化率。
(a) 纯 方向拉伸：
(b) 纯 方向拉伸：
(c)剪切变形：上边相对下边发生水平滑移，同时右边相对左边发生竖直滑移。因此剪切变形同时包含 随 的变化和 随 的变化:
将其写为矩阵形式有：
其中
2.2 物理方程
在 2D 中，应力可以理解为：作用在某个切面上的单位面积力（traction）。
我们考虑两类最常见的切面：法向分别沿 和 方向的切面。
其中 ：第一个下标 表示切面法向方向；第二个下标 表示力的方向。
例如 表示：法向为 的切面上，沿 方向的剪应力。
由微元力矩平衡可得剪应力对称：
因此，应力可写成列矩阵：
或者 对称矩阵：
线弹性本构关系（胡克定律的 2D 形式）写作：
其中 取决于平面应力/平面应变假设。
2.3 平衡方程
（1）整体
如下图（a）所示，我们考虑一个任意形状，单位厚度的二维区域 ，边界为 。 外力主要来自于：
- • 体力（body force)：分布在区域内部，单位体积的力（二维里可理解为单位面积×单位厚度）。如重力，磁力等。
- • 边界牵引（surface traction)：分布在边界上，每单位面积的力（二维里就是每单位长度×单位厚度）牵引力的方向由边界处的外法向 决定。
（2）局部微元
如下图（b）所示，在点 周围取一个矩形微元，边长分别为 和 。我们用之前定义的应力向量：
因此：
同理，上下边界分别给出作用力，再加上体力 作用在微元体积（面积×厚度） 上。
（3）微元的静力平衡
把四条边的牵引力与体力全部加起来，静力问题要求合力为零：
（4）局部微分形式
将 Eq.23 两边同时除以 得：
当 且 时，括号里的差商就变成偏导数：
这就是 2D 线弹性（静力）最核心的平衡方程。
（5）分量与矩阵形式
将 Eq.25 两边分别乘 和 得两条标量方程：
写成矩阵形式：
其中
2.4 Cauchy 牵引定理
前面我们已经引入了两个应力向量，分别记为 和 。Cauchy 牵引定理 想告诉我们的是：在同一点处，只要知道 和 ，就能得到该点处任意方向切面上的牵引力
（1）任意切面 + 一个三角微元
如下图所示，取一个三角微元：
- • 斜边是我们关心的任意方向切面，长度为 ，外法向为单位向量
- • 另外两条直角边分别与坐标轴垂直，对应长度为 与
法向 可以写成分量形式：
图中斜边是任意切面，其上的牵引力（面力密度）记为 。同时，在两个坐标面上，牵引向量分别为 和 。
（2）三角微元力平衡
不考虑惯性项，三条边上的合力为零：
两边除以 并且注意有 和 ，则我们可得：
其物理意义是：任意切面上的牵引 ，就是把 和 按照法向分量 和 做线性组合。
(3) 分量与矩阵形式
Eq.30 两边分别乘以 和 有
Eq.31 写成矩阵形式，就是经典的 Cauchy 牵引定理：
含义为：给定某点的应力张量 ，再给定该点处任意单位法向 ，就能得到该取向切面上的牵引力（面力密度）。
2.5 边界条件
与 1D 类似，边界条件也分两类：
- • 牵引边界（traction or natural or Neumann）
- • 位移边界（displacement or essential or Dirichlet)
并且满足
2.6 强形式小结
总结来说，2D 线弹性的强形式为：
3. 弱形式
强形式中有 以及 ，这意味着强形式最终会要求 至少能做二阶导。弱形式的目标是只让 需要一阶导就够用。
3.1 从平衡方程出发：乘权函数并积分
我们分别对两条平衡方程（, 两个方向）乘上权函数并积分；同时把牵引边界条件写成“加权残量为零”的形式，方便后面直接代入。
3.2 用格林公式：把导数从 上挪到 上
用格林公式 Eq.14 可得：
两式相加，并结合 Eq.36 (a) 和 (b) 可得：
3.3 考虑边界条件
在位移边界条件 上，位移已被固定（本质边界条件）。为了不在 上引入额外未知量，则 和 在 上应为 0，因此边界积分 那部分自动消失，只剩下牵引边界 。同时利用 Cauchy 牵引定理，即 Eq.36 (c)和(d)，Eq.38 可整理为：
Eq.39 左边被积项展开有：
最后代入本构 ,得到弱形式：
4. 举例：薄板单向拉伸
4.1 问题描述
如下图所示，有一薄板，设板域 ，平面应力。
- • 为了去掉刚体平移（竖向整体漂移），在左下角加一个点约束：
4.2 强形式
本例无体力，则强形式可写为：
其中
边界条件为
4.3 精确解
右端施加的是均匀拉应力，而且没有体力，因此板内只有 。再根据本构关系可推得应变，进一步可反推得位移。
4.4 弱形式
在该例中，无体力 ，则弱形式写作：
右端只有 那条边有力：
（1） 选一个试函数
因为我们预期解是线性的，我们就直接用两参数线性位移场：
它自动满足 , 且
取同类权函数：
其中 , 是任意常数。
（2） 计算应变、应力
位移的应变：
平面应力由本构得：
对权函数求偏导：
（3） 代入弱形式
弱形式左端：
右端：
左右相等：
因为 , 是任意的，所以
（4） 求解 ,
由
第二式给
代回一式：
因此
最终
参考文献
- • Fish, Jacob, and Ted Belytschko. A First Course in Finite Elements. Wiley, 2007.
