湖南大学2026年数学分析真题

1. 求极限。
2. 已知在上二阶可导，且，，。 (1) 证明在上恰有两个零点。 (2) 证明至少存在一点，使得。
3. (1) 证明在上一致连续。 (2) 证明在上不一致连续。
4. 在处连续，在处可微，证明在处可微。
5. 设在上二阶连续可微，，且对任意的，，证明。
6. 已知方程，。 (1) 对任意的，，能唯一确定函数。 (2) 求。
7. (1) 证明，。 (2) 证明在上一致收敛。
8. 有收敛级数。 (1) 求。 (2) 证明收敛，并且求其和。
9. 求，其中，，。

   

湖南大学2026年高等代数真题

1. ，在上做不可约分解。
2. ，计算。
3. 为上方程组，讨论：时取何值时方程组有解、无解、有无穷多解，并求解。
4. 求阶方阵的特征值与特征子空间。
5. 设为上向量，证明：可逆当且仅当并求的逆。
6. ，，，证明：。
7. 分别为阵，证明：的行向量组由的行向量线性表出当且仅当的解均为的解。
8. 为实对称阵，，证明：的正惯性指数大于等于当且仅当在上有一个维子空间，使得。
9. 设与为上两向量组，定义为上内积，且，证明：存在正交变换，。
10. 在上可相似对角化，为上线性变换，证明：在上存在一组基使其表示阵为对角阵。

厦门大学2026年高等代数真题

一、填空题（）

1. 设阶方阵的列分块形式，，今，________。
2. 设4阶矩阵，其逆矩阵________。
3. 向量，，，当________时，对任意都使得向量组的秩为2。
4. 设阶方阵，，，且，则________。
5. 设是从10维线性空间到12维线性空间的线性映射，则________。
6. 多项式，则它在有理数域上的标准分解式为________。
7. 设3阶方阵有3个特征值，则________（为的伴随矩阵）。
8. 若阶矩阵内元素全为1，则其极小多项式为________。
9. 设，则其Jordan分解式为________。
10. 设是正定二次型，则的取值范围为________。

二、()

设，，满足，求。

三、()

设为3阶实对称矩阵，，是的代数余子式。若时，求线性方程组的解。

四、()

设为实矩阵满足。 (1) 可对角化。 (2) 存在实对称矩阵和正交矩阵使得。

五、()

设是实数域上的次多项式，。若且，求。

六、()

设是数域上的不可约多项式，是数域上的线性空间的线性变换，若中的非零向量满足：，且，证明线性无关。

七、()

设是复数域上的维线性空间，是上的不可逆非幂零的线性变换，证明：在-不变子空间满足，且为可逆变换，为幂零变换。

八、()

证明：对任意正整数，必存在2025阶方阵使得

厦门大学2026年数学分析真题

1. () 设实数，级数发散，记，证明：发散。
2. () 设，证明：存在。
3. () 设是定义在上的连续可微函数，且满足，，证明：。
4. () 设在上存在三阶连续导数且在有界，证明：在上有界。
5. () 设是定义在上的非负连续函数，满足，，证明：，。
6. () 将中的点记为，中以原点为圆心，为半径的开球记为，其边界为，设具有连续的偏导数，且满足，，证明：。
7. () 设是由球面与所围立体，计算。
8. () 设在上连续，，是Fourier系数，证明：和均收敛。

中南大学2026年高等代数真题

1. (16分) 设是个不同的整数，证明在中不可约。
2. (16分) 求下列阶行列式的值，其中，：

1. (16分) 设为个互不相同的实数，求下列具有个未知元，个方程的线性方程组的通解：

1. (16分) 设整数，实数满足，证明：。
2. (16分) 设是复矩阵，和分别是阶和阶复方阵，方阵和没有公共的特征值，而且，证明。
3. (18分) 设，分别为它们的特征多项式，证明： (1) 可逆的充分必要条件是； (2) 矩阵方程有非零解的充分必要条件是。
4. (16分) 设是复数域上的维线性空间，是非零的线性函数，，且不存在常数使得，证明：任意的都可表示为，使得，。
5. (20分) 设为数域上的维线性空间的一个线性变换，且，证明： (1) ； (2) 是否能表示为与的直和？若能，请给出证明；若不能，请给出反例； (3) 若为的线性变换，请给出与都是-不变子空间的一个充要条件并证明。
6. (16分) 证明：如果是阶正定矩阵，那么存在唯一的正定矩阵，使得。

中南大学2026年数学分析真题

1. (分) (1) ，，求。 (2) 求。 (3) 求。 (4) 。
2. (20分) 设是一个连续函数，证明：的像是上的有界闭区间。
3. (20分) 设函数及导数在闭区间上连续，在区间内二阶可导，且满足，，，证明存在，使得。
4. (20分) 计算曲面积分，其中为球面的内侧。
5. (20分) 设在上一致连续，在上连续，，证明在上一致连续。
6. (10分) 计算反常积分。
7. (10分) 令，。 (1) 求函数项级数的收敛域，并证明其在收敛域上一致收敛。 (2) 证明在内连续可导。 (3) 令，证明在上单调递减。提示：。
8. (10分) 考虑一个位于点处的点电荷产生的电场，该电场定义为，其中，且，是正常数。设为中一个有界单连通开集，且边界为光滑闭曲面。 (1) 证明若，则通过的电通量为0。 (2) 证明若，则通过的电通量为常数，并求出该常数。

南开大学2026年数学分析试卷

1. 设常数，计算积分。
2. 设为闭区域的边界，取逆时针方向，计算曲线积分。
3. 设为中的有界区域，函数在上连续，对满足的任意开集，象集为的开子集，证明：。
4. 令，证明在上连续可微。
5. 求函数项级数和的和函数。
6. 设数列满足，，且，令，，，证明：对任意的，都有。
7. 设，，证明：。
8. 证明无穷乘积对于任意的都收敛，并求极限。

南开大学2026年高等代数真题

1. 求次数最小的多项式，使得，。
2. 计算阶行列式。
3. 设，，如果方程组有无穷多个解，求的值，并求正交矩阵，使得为对角矩阵。
4. 设为实数域，，，，证明：，其中为的伴随矩阵。
5. 设都是有限维线性空间的子空间，证明：。
6. 设为实正定矩阵，证明：。
7. 设为阶实对称矩阵，线性变换定义为，。 (1) 若是的特征值，证明：是的特征值。 (2) 证明：存在的一组基，使得在该基下的矩阵为对角矩阵。
8. 已知阶方阵与的秩相等，且，证明：。

东北大学2026年数学分析真题

一、计算题（每题15分，共60分）

1. (15分) 计算：。
2. (15分) 将按进行泰勒展开。
3. (15分) 求。
4. (15分) 计算：。

二、证明题（每题15分，共90分）

1. (15分) (1) 叙述定义：。 (2) 叙述定义：。
2. (15分) 证明：函数项级数在收敛但不一致收敛且在该区间连续。
3. (15分) 设在连续，在可导，证明：存在，使得。
4. (15分) 设在有二阶导数，且满足，其中，证明：有界。
5. (15分) 设为的二阶可导函数，且，，证明：。
6. (15分) 证明：在无理点连续，在有理点不连续。

题目：求定积分

解：令

根据

得到

另一方面

这样得到

消去得到

改递归数列的特征方程为

特征根为

所以

下面计算初始条件及.注意

使用万能换元法,则

所以

因此

立即得到

因此

从而

【解题完毕】

练习题目：求定积分

一致连续性的核心判定方法

• 定义法：通过直接应用一致连续的定义，证明对于任意ε>0，存在δ>0，只要|x-y|<δ，就有|f(x)-f(y)|<ε
• Lipschitz条件：若存在L>0使得|f(x)-f(y)| ≤ L|x-y|，则函数一致连续
• 闭区间推广：在有限闭区间上连续必一致连续（Cantor定理）
• 无穷远特性：若存在且有限，则f(x)在无穷区间上一致连续

非初等函数构造策略

• 分段振荡函数：定义

该函数在每个有理点附近剧烈振荡，但整体仍保持一致连续

• 分形型函数： 构造Cantor集上的魔鬼阶梯函数，证明其一致连续性在Cantor集上连续且单调，导函数几乎处处为0

• 非均匀压缩映射： 定义

通过积分运算保持函数的光滑性，利用导数有界性证明一致连续

不一致连续证明技巧

• 构造发散序列：找两序列满足：

• 无穷导数法：证明存在点列使得. 例如构造

• 非紧致空间特性：在非紧致域（如无限区间）上构造反例：

在上连续但非一致连续

典型综合题示例

• 设函数定义为：

证明：

(1) 在上一致连续

(2) 若修改为

讨论其连续性

(3) 构造一个在上连续但非一致连续的非初等函数.

• 解题思路：

(1) 使用Weierstrass M判别法证明级数一致收敛，各项满足Lipschitz条件

(2) 分析逐点收敛性，考察x→∞时的渐近行为

(3) 结合Cantor集特性与振荡函数构造反例，例如在Cantor集稠密点处叠加高频振荡项

• 这类题目综合运用了函数构造、级数分析、空间拓扑性质等多方面知识，能有效检测学生对实分析核心概念的理解深度。