【26版步步高高中数学人教A版必修二学习笔记第八章§8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台

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第1课时　棱柱、棱锥、棱台

［学习目标］　1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(重点)2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.(难点)3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.

导语

立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用.我们将从对空间几何体的整体观察入手，从我们身边熟悉的几何体出发，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法，了解它们的表面积和体积的计算方法；借助长方体，从构成立体图形的基本元素——点、线、面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进一步认识空间几何体的性质，今天，我们先来了解空间几何体的结构特征.

一、空间几何体的相关概念

问题1观察下列物体，我们常把这些物体的形状叫什么？它们的形状有什么特征？

提示　长方体，正方体，棱锥，多面体，球，圆柱，圆锥，圆台；前四个几何体都是由平面图形围成的，后四个不全是平面图形围成的，有些面是曲面.

知识梳理

1.空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

2.空间几何体的分类及相关概念

例1(多选)下列说法正确的是(　　)

A.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体

B.一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面

C.旋转体的截面图形都是圆

D.圆锥的侧面展开图是一个扇形

答案　ABD

解析根据多面体的定义知，选项A正确；根据旋转面的定义知，选项B正确；圆柱、圆锥的轴截面图形分别是矩形、等腰三角形，选项C错误；圆锥沿其母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，选项D正确.

反思感悟(1)多面体与旋转体都是封闭的几何体.

(2)多面体的所有面都是多边形；旋转体的侧面是曲线形成的旋转曲面，底面是圆.

跟踪训练1(多选)下列物体中属于多面体的有(　　)

A.球B.建筑用的方砖

C.茶杯D.埃及的金字塔

答案　BD

解析对于A选项，球体是旋转体，故错误；对于B选项，建筑用的方砖是由几个平面多边形围成的几何体，属于多面体，故正确；对于C选项，茶杯一般为圆柱体，属于旋转体，故错误；对于D选项，埃及的金字塔是由几个平面多边形围成的几何体，属于多面体，故正确.

二、棱柱的结构特征

问题2观察图中的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？

提示　它的每个面都是平行四边形(矩形)，并且相对的两个面，给我们以平行的形象，如同教室的地面和天花板一样.

知识梳理

1.棱柱的定义、图形及相关概念

2.棱柱的分类及特殊棱柱

(1)按底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.(如图①③)

(3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.(如图②④)

(4)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.(如图③)

(5)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.(如图④)

例2(1)(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是(　　)

A.所有的面都是平行四边形

B.每一个面都不会是三角形

C.两底面平行，并且各侧棱也平行

D.被平面截成的两部分可以都是棱柱

答案　CD

解析　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；

B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.

(2)如图所示，长方体ABCD-A₁B₁C₁D_1，M，N分别为棱A₁B_1，C1D₁的中点.

①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.

解①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.

②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB₁M-CC₁N，左下方部分是四棱柱ABMA₁-DCND₁.

反思感悟棱柱结构的辨析方法

(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义.

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.

(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.

跟踪训练2　下列命题中正确的是(　　)

A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面

C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

答案　D

解析由棱柱的定义可知，选D.

三、棱锥、棱台的结构特征

问题3图中的多面体具有怎样的特点？

提示　通过观察图形我们可以发现，图中多面体的共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点.

问题4如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截得的两部分几何体是什么样的几何体？

提示　上部分是棱锥，下部分是棱台.

知识梳理

1.(1)棱锥的定义、图形及相关概念

(2)棱台的定义、图形及相关概念

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