学习笔记:《空间经济学》藤田昌久+克鲁格曼+维纳布尔斯 PART 2

2026-05-12 18:39:52

我从未想过自己会花这么多时间来写自己的论文，并且到现在还没完成。幸运的是，我已经把它整理成型，因此也找到了动力来继续记录我的读书心得。在这篇文章中，我想分享（或者说回顾）我对新经济地理学的学习进展，内容涵盖《空间经济学》第四章的4.1至4.2节。为了便于表达，虽然可能不够严谨，我不会使用作者所使用的符号“≡”，而所有等式都将用“=”表示。

　　在正式开始讨论4.1和4.2节之前，必须说明的是，虽然我在上一篇文章中将“A”解释为社会因素的指标，但它实际上对应了本书后续章节中的运输成本。不过，我认为我的解释并非完全错误，因为我们当然可以用其他社会因素来替代运输成本，从而构建新的模型。

现在我想直接进入第四章。作者声称他们从Dixit-Stiglitz（D-S）函数出发，推导出一些解释垄断竞争（monopolistic competition）现象的理论。对于张伯伦模型，我们在教科书中已经见过相关的图表，但本章中一系列没有图表的函数看起来却令人相当困惑。幸运的是，在人工智能的帮助下，我最终理解了所有的方程式，并从中总结出了一些要点。

　　作者从柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)模型出发来构建整体的消费效用函数：

(4.1)

其中，M代表“工业制成品的综合消费指数”。相应地，A代表农产品的消费，μ代表花费在工业制成品上的支出份额(0<μ<1)。

　　在之后，为了构建M，作者给出了如下的函数：

（4.2）

　　虽然文中称之为“CES函数”（常弹性替代函数），但需要澄清的是，该函数实际上就是D-S函数，而原始的CES函数只有两个变量，因此，D-S函数是原始CES函数的扩充。当然，看到积分符号“∫”可能会有点让人困惑，不过，我认为它等价于“Σ”。在该函数中，m(i)代表每种制成品的消费量，ρ代表消费者对制成品多样性的偏好强度(程度)且0<ρ<1。同时，替代弹性σ定义为σ=1/(1-ρ)。尤其需要注意的是，替代弹性(σ)大于1，这意味着它与需求弹性或供给弹性（取值范围为0到∞）略有不同。简单来说，当σ→1时，弹性趋近于零，即产品不可替代。

　　在基本介绍之后，作者设定了如下预算约束Y：

其中代表农产品价格（常数），p(i)则代表第i种工业制成品的价格。

　　简而言之，最终目标是在于最大化消费效用，即(4.1)中的U。在固定预算Y的情况下，任务则可变为：在保持M 水平不变的情况下，降低工业制成品的支出，其公式如下：

（4.3）

　　之后，作者继续用如下方程来建构模型：

（4.4）

（这也是弹性系数σ 的表述方式，σ 等于 1/(1-ρ)。注意，书中原方程为, 但这明显是个错误。）

　　而将i商品的消费用j来表示则可写为: 。起初，我对引入 j 感到困惑，直到接下来的步骤才意识到这是一个排列组合的技巧。

将代入(4.2), 公式则变为：

　　这里有一个非常有趣的地方，正如作者所指出的，是一个常数,因为。无论顾客选择哪种消费组合，恒定的替代弹性都使得是一个定值。因此, , 也即是,可以从上面的 #2式中提取出来，由此得出另一个公式：

(4.5)

　　那么，新的工业制成品支出组合可以构建为如下形式：

（4.6）

　　对上面这个公式，还有另一个技巧需要解释。实际上，(4.5) 被代入了(4.6)的左侧, 也即是。考虑到是一个常数(因为每种商品的价格是固定的，ρ也是一个常数), （4.6）左侧可继续变形为。从这个式子的形式可以看出，左半边的分母和右半边的积分具有相同的结构，而i和j对结果没有影响。因此，可以将两者指数相加，即成为 (4.6)右侧。

　　基于上述推导，作者定义了另一个指数，即工业制成品价格指数 G (price index of manufactured goods)。

(4.7)

　　结合(4.5) 和(4.7)，我们可以得到：

（4.8）

　　现在，问题转化为在以下约束条件下求U 的最大值（根据 (4.6) 和 (4.7)，#1式子的积分部分被替换为 GM）。

(4.9)

　　同时，我们可以将 A 转换为如下形式（因为GM=μY)：

(4.10)

　　结合 (4.8) 和 GM=μY，我们得到：

(4.11)

　　接下来，如果我们在效用函数（即柯布-道格拉斯函数）中使用(4.10) 和M=μY/G，那么我们可以得到：

（4.12）

　　进一步地，作者回到方程 (4.7)，并假设所有制造商的价格都相同，即, 那么可以得到：

（4.13）

　　在(4.12)中，如果我们把工业制成品支出份额μY固定，那么式子中就只有G一个变量。而显然，较低的G会导致较大的U，即更大的消费效用。因此，在4.2节末尾，作者提出了这样的论断：“σ越低——产品种类越多样化——品种数量的增加导致的价格指数G下降幅度就越大。” 然而，在我看来，作者的推论，即较低的替代弹性会导致商品种类更多，实际上是有缺陷的。作者的论断在某种程度上听起来确实具有相当的合理性，因为如果我们有更多差异化的选择，单一产品中的替代弹性自然会下降。但这种情况意味着不存在实质性的（完全）竞争，因此可因包含高额的边际利润而飙升，那么G的值仍然可能很高，从而降低消费效用。

　　我认为必须要看到的是，在公式 (4.4) 中，替代弹性完全体现于商品的价格竞争当中，但实际上，替代弹性具有行业特异性，同时也可能与商品种类多少无关。例如，在汽车售后市场，情况似乎确实符合该模型（低弹性、高多样性），但这往往是技术壁垒造成的，因为很显然，奔驰车主无法购买本田的零部件，而价格竞争只存在于同一车型的原厂件、OEM件、及高仿件之间。然而，在餐饮或服装行业，不存在这样的技术壁垒来限制我们获得更多选择，在这种情况下，我们既拥有较高的替代弹性，又拥有丰富的商品种类（虽然这可能在某些时候是令人不太愉快的代发货模式），同时产品价格也较低。然而，根据公式 (4.4) 的定义，因为价格完全与替代弹性挂钩，上述这些情况也就自然无法用文中的公式来衡量了。