初中几何：圆的全部知识点整理，解题技巧

目录

一、圆知识点思维导图

二、最全知识点公式整理

三、常用圆的解题技巧

知识点思维导图

知识点及公式整理

圆中辅助线添加技巧

1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：① 利用垂径定理；② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

2. 遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

3. 遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点

作用：利用圆周角的性质，可得到直径

4. 遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

5. 遇到有切线时

常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）；

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

常常添加连结圆上一点和切点；

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6. 遇到证明某一直线是圆的切线时

（1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。作用：若OA=r，则l为切线。

（2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。

（3） 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线。

7. 遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到

① 角、线段的等量关系  ② 垂直关系  ③ 全等、相似三角形

8. 遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

② 内心到三角形三条边的距离相等。

9. 遇到三角形的外接圆时

连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

10. 遇到两圆外离时

（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。

作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识。

11. 遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。

作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；

② 利用圆内接四边形的性质；

③ 利用两圆公共的圆周的性质；④ 垂径定理。

12. 遇到两圆相切时

常常作连心线、公切线。

作用：①利用连心线性质；②切线性质等。

13. 遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线；作用：可利用连心线性质。

14. 遇到四边形对角互补时

常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。

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01单元要点

圆是最美的图形，其中有一个非常重要的特性，就是在旋转的过程中，圆的所有性质都不变。

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且其绕对称中心旋转任意角度，图形都不会发生变化。

在本单元新课学习阶段，我们已经通过实验、观察等方式，发现了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，明确了生活中的许多事物之间是相互联系、相互转化的。

本节内容的核心知识点是：在同圆或等圆中，圆心角相等、圆周角相等、弧相等、弦心距相等，已知其中任意一组量相等，就可以知道其他各组量也相等。

在本单元的中考考查中，围绕相关定理进行综合命题，也是考试中常见的一种方式。比如第12题，以圆周角定理为核心，融合考查了“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”，推论：“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”，“90°的圆周角所对的弦是直径”等，还考查了垂径定理和平行四边形的性质。

此题的解答过程，也充分利用了圆周角定理，得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝OB，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACD的中位线，则CD＝2OP，原式可对B选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D选项进行判断。

在中考中，任何一个考题，考查的都是我们的综合运用能力和逻辑分析能力，需要我们在学习中不断地提升这种能力，以求得数学知识的最优化。

现在，请大家走进圆的世界吧！

中考真题精选

经典题目解析

一、选择题

1. 考点圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．

分析直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．

2. 考点M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．

分析根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．

3. 考点MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．

分析连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60°，属于利用弧长公式l= 来计算劣弧 的长．

4. 考点M5：圆周角定理．

分析连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．

5. 分析连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出BH=3，由勾股定理得出DH= =4，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

6. 分析先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．

7. 分析根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．

8. 分析根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．

9. 分析由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．

10. 分析根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．

11. 分析连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．

点评本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．

12.  分析利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝OB，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACD的中位线，则CD＝2OP，原式可对B选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D选项进行判断．

点评此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．

13. 分析根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．

点评本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．

14.分析连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．

点评本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

15. 答案B.根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．

此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．

二、填空题

16. 分析：连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB= ，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

17. 考点圆周角定理；等腰三角形的性质．

分析连接AD，由圆周角定理得出∠AEB=∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出BD=CD，由三角形中位线定理得出OD∥AC，CE=2MD=4，求出AE，再由勾股定理求出BE即可．

18.答案32。试题分析：由∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，可知A，B，C，D四点共圆，圆心是E，直径AC然后根据圆周角定理由∠BAD＝58°，得到∠BED＝116°，然后根据等腰三角形的性质可求得∠EBD=32°.

考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质

19.分析利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°，进而得出∠DOA=60°，利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可．

20. 分析连接 并延长交 于 ，连接 ，于是得到 ， ，解直角三角形即可得到结论．

点评本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

21. 分析先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．

点评本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

22. 分析连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．

点评：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键。

23.分析过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论．

点评本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

三、解答题

24. 分析（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；

（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根据弧长公式即可得到结论．

点评本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．

25. 分析连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出 ＝ ，进而得出 ＝ ，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．

点评本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

26. 分析（1）由AB＝CD知 ＝ ，即 + ＝ + ，据此可得答案；

（2）由 ＝ 知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．

点评本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．

27. 分析（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；

（2）连接 ，根据平角定义得到 ，根据圆周角定理得到 ，求得 ，得到 ，根据弧长公式即可得到结论．

点评本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．

29. 分析（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；

（2）设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出 = ．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE= BE，作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例，进而求出 ．

点评本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，通过作辅助线是解题的关键。