1. 离散时间模型（Discrete Time Models）

最开始学习的是：

• 二叉树模型（Binomial Model）

• 三叉树模型（Trinomial Model）

核心思想：

无套利条件（No-Arbitrage Condition）

市场中不存在无风险套利机会。

完备市场（Completeness）

所有衍生品都可以通过基础资产复制。

满足这两个条件后，可以进行：

风险中性定价（Risk-Neutral Valuation）

2. 连续时间模型（Continuous Time）

将上述思想扩展到连续时间后得到：

资产价格服从：

几何布朗运动（Geometric Brownian Motion）

最终得到经典模型：

Black-Scholes-Merton 模型

假设：

• 收益率服从正态分布

• 波动率为常数

• 市场连续交易

• 无套利

3. 现实市场的缺陷

实际数据发现：

Black-Scholes 假设 不完全成立

主要问题：

1️⃣ 收益率并不完全服从正态分布

存在：

• 厚尾（fat tails）

• 偏度（skewness）

2️⃣ 波动率不是常数

现实中：

• 波动率随时间变化

• 存在波动率微笑（Volatility Smile）

因此需要更复杂模型。

二、波动率模型的发展

为解决 Black-Scholes 的问题，发展出两类模型：

1 Local Volatility Model（局部波动率模型）

特点：

• 波动率是 价格 + 时间的函数

典型模型：

Dupire Local Volatility Model

优点：

• 容易校准

• 可以拟合 volatility surface

缺点：

• 波动率 不是随机过程

• 无法捕捉真实市场波动结构

2 Stochastic Volatility Model（随机波动率模型）

思想：

波动率本身也是随机过程

会随时间随机变化。

最著名模型：

Heston Model（1993）

三、为什么需要随机波动率模型

观察股票历史波动率时间序列（例如 Apple）。

会发现两个重要特征：

1 波动率是随机的

Volatility：

• 会随机波动

• 不是常数

2 波动率具有均值回复（Mean Reversion）

长期来看：

波动率会回到某个平均水平。

表现为：

• 高波动 → 回落

• 低波动 → 上升

这种特征称为：

Mean Reversion（均值回复）

四、Heston 模型结构

Heston 模型包含：

两个随机微分方程（SDE）

五、如何生成相关随机变量

模拟时需要生成：

两个相关 Wiener process。

常用方法：

Cholesky Decomposition（Cholesky分解）

步骤：

1 生成两个独立随机数

2 使用 Cholesky 分解

3 得到相关随机变量

六、Heston 模型求解难度

Heston 模型：

数学复杂度较高。

精确解需要：

• Fourier Transform

• Fast Fourier Transform（FFT）

这些将在：

Stochastic Modeling 课程

中学习。

七、Monte Carlo 方法

在本课程中使用：

Monte Carlo Simulation

步骤：

1 模拟波动率路径

2 模拟资产价格路径

3 计算期权 payoff

4 折现得到期权价格

八、Heston 模型的重要意义

Heston 模型解决了：

Black-Scholes 的重要缺陷。

能够解释：

1 Volatility Smile

2 厚尾分布

3 偏度

4 随机波动率

因此被广泛应用：

• 期权定价

• 风险管理

• 衍生品交易

Heston 模型可通过 Monte Carlo Simulation 实现期权定价。

LESSON 1 随机波动率模型——Heston 模型

使用 Monte Carlo Simulation在 Python 中模拟 Heston Model（1993）

该模型是金融工程中最经典的随机波动率模型之一。

Heston模型核心思想

Heston模型假设：

资产价格和波动率都是随机过程

即：

• 资产价格随机

• 波动率也随机

因此模型包含 两个随机微分方程（SDE）。

资产价格动态方程

资产价格演化公式：

波动率动态方程

保证方差非负

十三、Heston模型产生的分布特征

Heston模型的重要特点：

生成的收益率分布：

不是正态分布

相比正态分布：

具有：

1 Heavy Tails（厚尾）

极端涨跌概率更高。

2 Kurtosis（高峰度）

分布更加尖峰。

3 Skewness（偏度）

分布不对称。

这与真实金融市场数据一致。

而经典模型：

Black–Scholes Model

假设：

收益率服从正态分布。

现实中这一假设不成立。

十四、波动率的均值回复

Heston模型中的波动率过程：

类似：

• CIR model

• Vasicek model

即：

Mean Reversion Process

表现为：

• 高波动 → 回落

• 低波动 → 回升

使用 Heston 模型进行期权定价（Option Pricing）

具体方法：

Monte Carlo Simulation

三、模型校准（Model Calibration）

参数通常通过：

Model Calibration

获得。

含义：

利用 市场数据（例如期权价格）

反推出模型参数。

两种校准方法

1 同时校准全部参数

类似之前学习的：

CEV Model Calibration

特点：

• 同时优化所有参数

• 计算复杂度高

• 需要大量计算资源

2 半解析方法（Semi-Analytical Solution）

另一种更高效方法：

使用

半解析解

本质：

用数学技巧（如傅里叶变换）快速近似数值解。

优点：

• 计算速度更快

• 更适合模型校准

期权定价的核心思想

在衍生品定价中，最困难的部分是：

确定资产价格的动态过程

一旦得到：

风险中性测度下的资产价格动态

就可以计算：

期权价格。

若没有解析解

如果模型没有：

Closed-Form Solution

就可以使用：

Monte Carlo Simulation

方法。

六、Monte Carlo 定价思路

步骤：

Step 1

模拟资产价格路径

在本课中：

使用 Heston 随机波动率动态。

eston vs Black-Scholes

本节课还会比较：

Heston 模型

与

Black–Scholes Model

计算得到的期权价格。

一个常见问题

学生常问：

两个模型的价格是否会收敛？

答案：

不会。

原因

Heston 模型包含更多现实特征：

例如：

• 随机波动率

• 波动率均值回复

• 收益率偏度

• 厚尾分布

因此：

资产价格路径不同 → 期权价格也不同。

如果复杂模型和简单模型结果完全一样：

那就没有必要使用复杂模型。

因此：

模型复杂度应该带来更真实的市场描述。

八、下一步扩展：价格跳跃

课程最后还引入一个重要特征：

价格跳跃（Price Jumps）

即：

股票价格会出现

突然大幅变化

例如：

• 财报发布

• 宏观政策

• 市场崩盘

这种现象可以通过：

Jump Diffusion Models

描述。

典型模型：

Merton Jump Diffusion Model

LESSON 2 Heston模型下的期权定价（蒙特卡洛方法）

Heston模型动态方程

Heston模型包含两个随机过程：

六、模拟资产价格路径

步骤：

1 生成随机数2 构造相关随机变量3 模拟波动率路径4 模拟股票价格路径

最终得到：

大量 资产价格路径

用于期权定价。

九、为什么两个价格不同？

这是一个常见问题：

Heston价格是否会收敛到BS？

答案：

不会。

原因：

1 Black-Scholes假设过于简单

假设：

• 波动率恒定

• 收益率正态分布

现实中并不成立。

2 Heston更加真实

Heston能够捕捉：

• 随机波动率

• 厚尾分布

• 偏度

• 波动率均值回复

因此：

价格自然不同。

3 模型复杂度的意义

如果复杂模型和简单模型结果一样：

那就没有必要使用复杂模型。

课程整体发展

整个课程模型发展路径：

1️⃣ Binomial Model

2️⃣ Black–Scholes Model

3️⃣ Local Volatility

4️⃣ Heston Model

核心思想：

不断提高模型复杂度更好描述真实市场。

Jump Diffusion Models

一、为什么需要 Jump 模型

在经典模型中：

例如Geometric Brownian Motion

股票价格变化是：

• 连续

• 平滑

但现实市场：

价格经常 突然跳跃。

例如：

• 财报发布

• 政策变化

• 公司丑闻

• 宏观经济事件

可能出现：

• 大幅上涨

• 大幅下跌

因此：

需要能够描述 不连续价格变化 的模型。

二、Merton Jump Diffusion 模型

经典跳跃模型是：

Merton Jump Diffusion Model

提出时间：

1976 年。

论文发表于：

Journal of Financial Economics。

三、模型结构

Merton模型在 GBM 基础上加入：

Jump process

资产价格变化包含两部分：

1️⃣ 连续扩散部分（Brownian Motion）

2️⃣ 跳跃部分（Jump）

七、价格路径对比

不同模型产生的价格路径：

GBM

特点：

• 平滑

• 连续

Heston

特点：

• 波动率随机

• 波动率均值回复

但：

价格仍然 连续。

Merton Jump Diffusion

特点：

• 存在 突然跳跃

• 价格路径 不连续

更接近真实市场。

Merton Model Implementation

二、模型区别

Heston 模型

修改：

volatility

即：

波动率变为随机。

Merton 模型

修改：

drift component

加入：

jump process。

三、两类模型关注点

四、未来发展

量化金融不会只用单一模型。

研究者常常：

组合多个模型

例如：

把 Heston 和 Merton 合并。

五、组合模型

经典组合模型：

Bates Model

结合：

• Heston

• Jump diffusion

即：

随机波动率 + 跳跃。

BCC Model

完整名称：

Bakshi-Cao-Chen Model。

同时考虑：

• 随机波动率

• 跳跃

• 利率变化

课程模型演化路径

整个衍生品定价课程模型发展：

期权定价模型不断升级的原因：

现实市场存在三个重要特征：

1 波动率不是常数

→ Heston

2 收益分布厚尾

→ Stochastic volatility

3 价格突然跳跃

→ Jump diffusion

LESSON 4 Merton 模型

五、Merton模型产生的收益分布

Merton 模型产生的收益率分布具有：

1️⃣ 高峰厚尾（High Kurtosis）

极端事件更多。

2️⃣ 偏度（Skewness）

通常：

负偏（left skew）

这与真实股票收益一致。

六、模型对比

课程比较了三种模型的收益分布：

1 Black-Scholes / GBM

模型：

Geometric Brownian Motion

特点：

• 正态分布

• 对称

• 无厚尾

现实中不成立。

2 Heston 模型

模型：

Heston Model

特点：

• 随机波动率

• 均值回复

• 厚尾

但：

没有价格跳跃

3 Merton 模型

特点：

• 存在 jump

• 更厚尾

• 可产生 skewness

更接近真实市场。

九、Merton模型参数解释

Merton模型最重要的参数：

十、模型参数校准

现实中：

参数不是随便设定。

需要通过：

Calibration

使用：

市场期权价格。

两类高级模型：

1 随机波动率模型

Heston Model

特点：

波动率随机。

2 跳跃扩散模型

Merton Jump Diffusion Model

特点：

价格突然跳跃。

未来模型：

结合两者：

例如 Bates Model

GBM：

价格连续 + 正态收益

Heston：

随机波动率

Merton：

价格跳跃