【26版步步高同步数学人教A版学习笔记选择性必修一第二章2.1.2两条直线平行和垂直的判定

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2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

[学习目标]　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件(重点).2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题(难点)．

一、两条直线平行的判定

问题1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？

问题2　平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？

对于斜率分别为k_1，k2的两条直线l_1，l2，有l₁∥l₂⇔____________.

例1　判断下列各题中的直线l₁与l₂是否平行：

(1)l₁经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l₂经过点M(3,4)，N(－1，－1)；

(2)l₁的斜率为1，l₂经过点A(1,1)，B(2,2)；

(3)l₁经过点A(0,1)，B(1,0)，l₂经过点M(－1，3)，N(2,0)；

(4)l₁经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l₂经过点M(5，－2)，N(5,5)．

延伸探究　已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为__________. 

反思感悟　判断两条不重合的直线是否平行的方法

二、两条直线垂直的判定

问题3　平面中，两条直线l_1，l2的斜率分别为k_1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k₁)，b＝(1，k₂)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？

例2　已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．

反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法

在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．

跟踪训练1　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　)

A．l₁过点M(1,1)，N(1,2)，l₂过点P(1,5)，Q(3,5)

B．l₁的斜率为－23，l₂过点P(1,1)，Q\a\vs4\al\co1(0，－\f(12))

C．l₁的倾斜角为30°，l₂过点P(3，3)，Q(4,23)

D．l₁过点M(1,0)，N(4，－5)，l₂过点P(－6,0)，Q(－1,3)

三、平行与垂直的综合应用

例3　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．

反思感悟　利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

跟踪训练2　已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．

1．知识清单：

(1)两直线平行的判定．

(2)两直线垂直的判定．

(3)两直线平行、垂直的应用．

2．方法归纳：分类讨论、数形结合．

3．常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．

1．若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　　)

A.13B．－13C．2D．－2

2．(多选)已知直线l₁的斜率为a，l₁⊥l₂，则l₂的斜率可以为(　　)

A.1aB．－1aC．aD．不存在

3．已知两点M(2,2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为(　　)

A．(1,0)B．(6,0)

C．(1,0)或(6,0)D．不存在

4．若直线l₁的倾斜角为135°，直线l₂经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l₁与l₂的位置关系是______．

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