本文属于《电动力学：经典与量子之间》合集中的学习笔记部分，主要记录我在重新学习经典电动力学辐射问题时的理解过程、困惑与阶段性认识。本节将介绍Dirac1938年的文章中对经典电动力学辐射反作用力的推导，以及自能发散问题的质量重整化解决。在此基础上给出Landau Lifshitz方程，其应用实例，以及失效实例。
1. 经典电动力学中的辐射反作用力
经典电动力学中，Maxwell方程组描述了电流源如何产生电磁场，Lorentz力与Newton运动定理描述了粒子在电磁场中如何运动，联立这些方程似乎可以给出电磁现象的所有自洽描述。然而，当涉及到电子在自身的运动为源产生的电磁场中的运动时，会出现如下几个问题^1：
- 自作用力正比于电子加速度的一阶导数，运动方程具有三阶时间导数
- 若假设电子为非点粒子，需引入非电磁内应力维持其结构
本节介绍Abraham-Lorentz-Dirac方程和Landau-Lifshitz方程，作为经典电动力学框架下对辐射反作用的自洽描述。
2. Abraham-Lorentz-Dirac方程
由Max Abraham, Hendrik Lorentz以及P. A. M. Dirac命名，是Dirac在1938年将运动方程中的质量与Abraham-Lorentz力重整化后得到的[^2]。Dirac利用Maxwell方程的解包含推迟解和超前解的特点，将其重新分解为对称和反对称部分：
其中推迟解和超前解可分别由对应的Green函数得到：
假设粒子世界线为，则对称和反对称势分别为
其中为其0-分量。积分的范围是，表示对过去和未来所有时刻的贡献进行累加，当我们需要考虑粒子在特定时刻受到的力时，将观测点（场点）取在粒子世界线上时，令，Minkowski距离可展开为
其中用到以及. 进一步将上述Minkowski距离代入函数，并保留领头阶可得
反对称部分的势为
可以看到即使在粒子世界线上发散项亦严格相消，仅留下有限项。由在任意场点处反对称势可求得反对称部分的场为
据此求得粒子受到的来自该场的力
积分中由于是奇函数，为偶函数，中第一项正比于为偶函数，积分为0；第二项保留，且利用对称性可得
即具有Lorentz协变的Abraham-Lorentz力，注意括号中第二项有的教科书中符号为负，来自于度规选择的区别，本文选择度规。
对称部分的势为
只要场点在粒子世界线上，对称部分即发散。由在任意场点处对称势可求得对称部分的场为
粒子在时刻受到的来自对称部分场的力为
再次借助奇偶性分析可知中的第二项为0，而第一项会给出发散的结果，引入正则化，积分可得
将对称和反对称部分的力均代入运动方程可得
即为Abraham-Lorentz-Dirac方程(ALD方程)。如定义
则发散部分被吸收进裸质量中，物理上可观测的质量仍然是有限的，这种思想即为重整化。
可以看到，与非相对论情形相比，ALD力具有协变性，但是对应运动方程仍然是时间的三阶导数，因此预加速(preacceleration)与奔离解(runaway solution)仍然存在。
3. Landau-Lifshitz方程
如上节我们看到的，ALD 方程是一个关于时间的三阶微分方程（包含 ），这在数学上导致了不符合物理的预加速与奔离解。Landau 和 Lifshitz 指出，在经典力学范围内，辐射反作用力相对于外部 Lorentz 力通常是很小的。因此，我们可以将辐射项视为微扰，通过将零阶运动方程代入一阶项来降阶。具体做法如下：
首先，定义一个特征时间常数 ：
对电子，其数值为s. ALD 方程写为：
当辐射项极小时（），粒子的加速度由 Lorentz 力决定。这可以作为零阶近似，对零阶方程式两边关于固有时 求导：
其中第一项利用了全微分关系 ，第二项代入了零阶加速度作为近似。整理得：
对项亦代入零级加速度近似，
得到 Landau-Lifshitz 方程
可见其由三部分组成，第一项由Lorentz力贡献，第二项是梯度项，描述了由于外场在粒子运动范围内的非均匀性导致的修正，第三项是平方项，描述了即使在均匀场中，粒子由于偏转而产生的辐射能量流失及其对轨迹的修正。
可以看到，通过迭代代入，我们成功地将ALD方程转换为了一个可以实际计算的“唯象有效方程”。应该注意，这种近似仅在辐射力远小于 Lorentz 力时有效。
4. 同步辐射--LL方程的应用
作为一个LL方程的实际应用，考虑同步辐射中电子的能量损失。为简单起见，假设电子处于匀强磁场中，速度始终垂直于磁场。电磁场张量为, 其余分量为0，梯度项也为0，，LL方程的0分量为
其中. 进而由以及可得
空间分量为
下面选取第三代同步辐射光源的典型参数进行计算，取T, 电子能量GeV, 则回旋频率rad/s, 初始轨道半径m, Lorentz因子. 代入0分量方程得到初始能量损耗功率W, 电子绕行一周时间ns，损失能量keV.
进一步获得电子的轨迹要求联立求解，定义,
解得
其中为衰减因子，进一步求出回旋半径与回转频率为
可见由于能量损失，电子回旋运动的半径在减小、频率在增加，绘制图像如下：
进一步计算电子辐射功率谱，可得临界光子能量其中为临界频率，将电子辐射能谱分为相等的两部分。对上述参数我们有keV.5. 强激光与电子对撞--LL方程的失效
从上述计算可以看出，LL方程预言电子的辐射功率正比于，即随着电子能量的提高而平方增长。实际上随着电子辐射出光子能量的提高，由于动量守恒，对电子的反冲将变得不可忽略，且单个电子不可能辐射出比自身动量还高的光子，因此LL方程在高能区会显著高估辐射功率；另一方面，光子的发射本质上是服从概率分布（即微分散射截面）的，在低能区辐射的单个光子能量很低，因此总光子数很大，辐射功率是大量光子能量的统计平均，而在高能区，单个光子可能具有较大的能量，这种发射的随机性凸显，使得使电子的能谱出现展宽，这是LL方程作为确定性微分方程无法得出的。
为了描述LL方程的适用范围，定义量子非线性参数
当时，LL方程完全适用；当甚至更大时，LL方程失效。
2018年，帝国理工学院、马普所等机构的研究人员K. Ponder, A. Di Piazza等人[^3]用超强激光Astra Gemini（峰值功率）和激光尾场加速的高能电子束(最大能量超过2GeV)对撞，实验观测到电子束损失能量高达30%，这与LL方程预测的40%存在明显偏差。
激光功率密度与其电磁场强度的关系为
从中得到场强. 由于相对论效应，电子在其静止系下感受到的场强约为，量子非线性参数，这显然超出了LL方程的适用范围。
6. 小结
- ALD方程虽然会导致运动方程具有三阶时间导数，但其对自能发散的处理是重整化的雏形，对辐射反作用力的处理具有数学上的严格性，是LL方程的起点。
- LL方程从ALD方程出发，采用微扰/有效理论的思想，成功避免了三阶时间导数，在拓宽了经典电动力学的应用范围。
- LL方程的成功，既是低能下经典电动力学适用的表现，也是统计平均下，量子随机性被“平滑”的结果。
- LL方程的失效，是强场作用下电子单次辐射出高能光子时带来的反冲对经典电动力学基于统计的平均场假设的破坏。
- 强激光下的电子与辐射：多光子过程与Volkov波函数
附录
[^1]:[【学习笔记】经典电动力学中的辐射](https://project.jiabaozhang.net/notes/WhatIsEMRadiation.html)
[^2]:Paul Adrien Maurice Dirac. Classical theory of radiating electrons. Proc. A 1 August 1938; 167 (929): 148–169.
[^3]:K. Ponder, et al. Experimental Signatures of the Quantum Nature of Radiation Reaction in the Field of an Ultraintense Laser. Phys. Rev. X 8, 031004
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