【学习笔记】五寒 第6讲 位值原理及其应用

一、什么是位值原理？

位值原理 ，是十进制计数的核心规则。它指的是：同一个数字，在不同的数位上，所表示的数值大小是不同的。 这个“值”是由它所在的“位”决定的。

理解的重点是：

1. 数位决定权重：从右至左，依次是个位（×1）、十位（×10）、百位（×100）、千位（×1000）……每个数位都有其固定的“计数单位”。

2. 数字的“真实大小” = 数字本身 ×位权。

例如：

数字 4321并不是简单的“4、3、2、1”组合，而是：

• 4 在千位，表示 4 × 1000 = 4000

• 3 在百位，表示 3 × 100 = 300

• 2 在十位，表示 2 × 10 = 20

• 1 在个位，表示 1 × 1 = 1

  所以，4321 = 4000 + 300 + 20 + 1。

二、位值原理的核心应用：拆数

位值原理最直接的应用就是“拆数”，即把一个数按照数位拆解成多个部分的和，或者进行灵活的重新组合。

1. 标准拆（按数位拆）

如：365 = 3 × 100 + 6 × 10 + 5 × 1

2. 灵活拆（按数块拆）

这是解题的关键技巧，可以根据题目需求，将数字视为几个部分的组合。

例如 4321还可以看成：

• 4 × 1000 + 321 × 1（把后三位作为一个整体）

• 43 × 100 + 21 × 1（把前两位和后两位分别作为整体）

• 432 × 10 + 1 × 1（把前三位作为整体）

这种灵活拆分的核心思想是：一个多位数 = 较高数位部分 × 对应计数单位 + 较低数位部分。这在设未知数解方程时极为有用。

三、常见应用与解决办法

1. 基础列式（用于表示数）

• 题目：将 20220用位值原理拆分。

• 方法：确定每个“2”所在的数位及其计数单位。

• 解答：20220 = 2 × 10000 + 2 × 100 + 2 × 10。

2. 解含未知数字的方程

• 题目：“两位数比十位与个位之和大9，求十位。”

• 方法：

1. 设数：将两位数设为 ab = 10a + b。

2. 翻译条件：根据题目描述列出方程。如温故知新2：(10a + b) - (a + b) = 9。

3. 解方程：化简得到 9a = 9，解得 a = 1

• 关键：用 10a+b代替 ab，把文字条件转化为代数方程。

3. 数字和与倍数问题

• 题目：用1,2,3组成的所有三位数之和是多少？

• 方法1：

1. 每个数字在百、十、个位均会出现2次。

2. 总和 = (百位数字和×100 + 十位数字和×10 + 个位数字和×1)。

3. 百位和 = (1+2+3)×2=12，所以百位贡献 12×100=1200。同理十位贡献120，个位贡献12。

4. 总和 = 1200 + 120 + 12 = 1332。

• 方法2：由a,b,c组成的6个三位数之和 = 222 × (a+b+c)，其和一定是 222 的倍数。（重点掌握方法2）

4. 数字反转（反序数）问题

• 题目：三位数与其反序数之差为定值（如594或198），求原数。

• 方法：

1. 设数：设原数为 abc = 100a + 10b + c，反序数为 cba = 100c + 10b + a。

2. 做差：abc - cba = 99(a - c)。

3. 应用：题目给出差是594，则 99(a - c) = 594，解得 a - c = 6。只需找百位比个位大6的三位数对即可。

• 题目：已知 abcd + abc + ab + a = 1370，求 abcd。

• 方法：

• abcd = 1000a + 100b + 10c + d

• abc = 100a + 10b + c

• ab = 10a + b

• a = a

1. 按位拆开：

2. 列总式：将以上全部相加，并按a, b, c, d合并同类项：

   (1000+100+10+1)a + (100+10+1)b + (10+1)c + d = 1370

   1111a + 111b + 11c + d = 1370

3. 推理求解：从最高位a开始试（a只能是1，因为若a=2则总和超过2000）。代入a=1后，逐步确定b, c, d。最终可解出 abcd = 1234。

四、小雨小结

1. 核心思想：位值原理是理解十进制数的基础，它赋予数字“位置”以“权重”（×1，×10，×100…）。

2. 核心技能：拆数。既要掌握标准的按数位拆（abc = 100a+10b+c），也要学会根据题目灵活拆分（如ab1234 = ab×10000 + 1234）。

3. 解题思路：

• 看到“数字”、“数位”相关的问题，首先想到用字母表示数，并用位值原理展开。

• 将文字条件翻译成代数方程。

• 特别注意反序数问题的固定方法 abc - cba = 99(a-c)。

• 解复杂数字方程时，合并同类项是关键。