【26版步步高高中数学人教A版必修二学习笔记章末检测试卷二(第七章)

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章末检测试卷二(第七章)

［时间：120分钟 分值：150分］

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1.(2023·新高考全国Ⅰ)已知z=，则z-等于(　　)

A.- iB.iC.0D.1

答案　A

解析因为z==

==-i，所以=i，

即z-=-i.

2.(2023·新高考全国Ⅱ)在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案　A

解析因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i²=6+8i，

则所求复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限.

3.若z_1，z2为复数，则“z₁+z₂是实数”是“z_1，z2互为共轭复数”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　B

解析由题意，不妨设z₁=a+bi，

z₂=c+di(a，b，c，d∈R)，

若z₁+z₂是实数，则z₁+z₂=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i∈R，

故b+d=0，即b=-d，

由于a，c不一定相等，故z_1，z2不一定互为共轭复数，故充分性不成立；

若z_1，z2互为共轭复数，则z₂=a-bi，

故z₁+z₂=2a∈R，故必要性成立.

因此“z₁+z₂是实数”是“z_1，z2互为共轭复数”的必要不充分条件.

4.设i是虚数单位，x是实数，若复数的虚部是2，则x等于(　　)

A.4B.2C.-2D.-4

答案　D

解析复数=

==-x-xi，

∵复数(x∈R)的虚部为2，

∴-x=2，∴x=-4.

5.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i，且z+a+b=0，其中a，b为实数，则(　　)

A.a=1，b=-2B.a=-1，b=2

C.a=1，b=2D.a=-1，b=-2

答案　A

解析由题意知=1+2i，

所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b

=a+b+1+(2a-2)i，

又z+a+b=0，且a，b∈R，

所以解得

6.设复数z_1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z₁=3-2i，则|+z₂|等于(　　)

A.2B.5C.3D.10

答案　D

解析由题意得，z₂=-3-2i，

∴+z₂=(3-2i)²+(-3-2i)

=5-12i-3-2i=2-14i，

∴|+z₂|==10.

7.复数z=(a∈R)为纯虚数，则|2a+i|等于(　　)

A.B.C.2D.3

答案　B

解析因为z=为纯虚数，

所以设z=bi(b∈R，b≠0)，

即bi=，则bi(a+i)=2-i，

因此-b+abi=2-i，

从而即

所以|2a+i|=|1+i|==.

8.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e^ix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.下列说法正确的是(　　)

A.+1=0B.=1

C.cos x=D.sin x=

答案　C

解析对于A，当x=时，

因为=cos+isin=i，

所以+1=i+1≠0，选项A错误；

对于B，=

==e^πi=cosπ+isinπ=-1，选项B错误；

对于C，由e^ix=cosx+isinx，

得e^-ix=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx，

所以e^ix+e^-ix=2cosx，

得出cosx=，选项C正确；

对于D，由C选项的分析得e^ix-e^-ix=2isinx，得出sinx=-i，选项D错误.

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(　　)

A.若复数z满足|z-i|=，则复数z在复平面内对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上

B.若复数z满足z+|z|=2+8i，则复数z=-15+8i

C.若复数z_1，z2满足|z₁|=|z₂|，则z₁·=z₂·

D.若复数z_1，z2满足|z₁|=|z₂|，则=

答案　BC

解析满足|z-i|=的复数z在复平面内对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，故A错误；

设z=a+bi(a，b∈R)，

则|z|=，由z+|z|=2+8i，

得a+bi+=2+8i，

故解得

∴z=-15+8i，故B正确；

设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，a_{1，b1，a2，b2}∈R，

若|z₁|=|z₂|，则=

即+=+

∴z₁·=+=+=z₂·，故C正确；

若z₁=1，z₂=i，则|z₁|=|z₂|，

而=1，=-1，故D错误.

10.已知集合M=｛m|m=i^n，n∈N^*｝，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)

A.(1-i)(1+i)B.

C.D.(1-i)²

答案　BC

解析根据题意，M=｛m|m=i^n，n∈N^*｝，

当n=4k(k∈N^*)时，iⁿ=1；

当n=4k+1(k∈N)时，iⁿ=i；

当n=4k+2(k∈N)时，iⁿ=-1；

当n=4k+3(k∈N)时，iⁿ=-i，

∴M=｛-1，1，i，-i｝.

选项A中，(1-i)(1+i)=2∉M；

选项B中，==-i∈M；

选项C中，==i∈M；

选项D中，(1-i)²=-2i∉M.

11.已知z_1，z2∈C，下列命题正确的是(　　)

A.|z₁|²=

B.=(z₂≠0)

C.若z₁·z₂=0，则z_1，z2至少有1个为0

D.若z_1，z2是两个虚数，z₁+z₂∈R，z₁·z₂∈R，则z_1，z2为共轭复数

答案　BCD

解析设z₁=a+bi，z₂=c+di，a，b，c，d∈R.

对于选项A，例如z₁=i，则|z₁|²=1，=-1，

显然|z₁|²≠，故A错误；

对于选项B，因为z₂≠0，

则===+i，

可得=-i；

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