Completeness（市场完备性）

1 定义

在 无套利（absence of arbitrage） 条件下：

如果 等价鞅测度（Equivalent Martingale Measure, EMM）是唯一的，则称该金融模型是 完备市场（complete market）。

等价地：

2 完备市场的重要性质

在完备市场中：

• 所有衍生品价格 唯一确定

• 可以构造一个 投资组合策略，复制未来任意 payoff

即：

推论

矩阵满列秩必须满足：

期权定价思路

步骤：

1️⃣ 选择一个 numeraire

例如：

• bond

• stock

• money market account

2️⃣ 找到对应的 martingale measure

3️⃣ 计算条件期望

3.3.3 Replication（复制）

核心思想

在完备市场中：

任何 payoff 都可以通过资产组合复制。

定理 3.3.2

如果市场：

• 无套利

• 完备

且函数

一个重要的理论悖论

无套利定价理论有一个经典悖论：

只有可以复制的合约才能被定价

但如果可以复制：

合约实际上是 冗余的（redundant）。

所以：

理论上最容易定价的合约恰恰是 不需要存在的合约。

为什么期权市场仍然存在？

因为现实市场存在 市场摩擦：

例如：

• 交易成本

• 流动性

• 信息不对称

• 不同投资者成本不同

这些因素：

既促成了衍生品市场又违背了理论假设。

隐含波动率（Implied Volatility）

1 定义

隐含波动率（Implied Volatility，IV）：

由市场期权价格反推得到的波动率。

换句话说：

市场给出了 期权价格，我们用 Black-Scholes公式反解出波动率 σ。

2 为什么存在隐含波动率

期权价格来自市场：

• 由 供给和需求决定

• 反映投资者 对未来的预期

投资者在定价时会隐含地考虑：

• 市场风险

• 波动性

• 极端事件概率

因此：

期权价格实际上包含了投资者对未来波动率的看法。

1 特征

隐含波动率：

• ATM（At-The-Money）附近最低

• 远离ATM（OTM / ITM）逐渐升高

2 含义

投资者认为：

极端价格变动的概率高于正态分布预测。

因此：

市场为深度 OTM 期权支付 更高价格。

3 实证数据

课程示例：

• 数据来源：IBM期权

• 日期：2021年12月17日

Call 和 Put 的 IV 曲线 都呈微笑形状。

五、波动率微笑意味着什么

波动率微笑说明：

Black-Scholes 模型存在局限性。

主要问题：

1️⃣ 波动率 不是常数

2️⃣ 收益分布 存在偏度（skewness）

3️⃣ 极端事件 发生概率更高

六、解决方法

为了解释 volatility smile：

课程将介绍更复杂模型。

1 Local Volatility Models

例如：

• Dupire Model

• Constant Elasticity of Variance (CEV) Model

特点：

2 Stochastic Volatility Models

例如：

• Heston model

特点：

波动率本身 是随机过程。

二、隐含波动率（Implied Volatility）

1. 定义

隐含波动率是指由市场期权价格反推出的波动率。即通过观察市场期权价格，利用 Black-Scholes 模型反解未知的波动率 σ，使理论价格与市场价格一致。

2. 背景与意义

• 期权价格由市场 供需决定

• 供需价格体现了投资者对未来的 预期与信念

• 隐含波动率反映了市场参与者对未来波动率的主观估计

3. 计算方法

• 由于 Black-Scholes 定价公式是 非线性方程，无法直接解析求解 σ

• 可用 迭代数值方法（如 Newton-Raphson 方法）

• 迭代核心：用 Vega（期权价格对波动率的敏感度）更新 σ

• 迭代直到市场价格与模型价格的误差低于容差 ε

三、波动率微笑（Volatility Smile）

1. 现象描述

• 从不同执行价（strike price）提取隐含波动率，会发现 波动率并非常数

• 常见特征：

• ATM（平值期权）波动率最低

• 随着执行价偏离 ATM，隐含波动率上升 → 形成“微笑”形状

2. 含义

• 表明 Black-Scholes 模型无法完全捕捉市场实际波动

• 尤其对极端价格和收益分布的偏态（skewness）描述不足

• 为后续引入 局部波动率模型和随机波动率模型 提供动机

四、实践应用

• 可以用 Python 或其他计算工具计算不同执行价的隐含波动率

• 通过实盘数据（如 IBM 期权）观察波动率微笑

• 为风险管理、期权定价和策略构建提供基础

实际应用注意事项

• 交易量高的股票更适合观察波动率微笑

• 期权到期日不宜过近或过远，一般选择 约三个月后的到期日

• 必须选择实际存在的到期日，否则会报错

• 隐含波动率可从看涨或看跌期权计算

• 同一执行价，Call 与 Put 的隐含波动率可能略有差异

3. 波动率微笑与波动率偏斜（Smirk/Skew）

• 从 Call 或 Put 的隐含波动率绘图，可能并非完整微笑，而是 偏斜（Smirk/Skew）

• 形成原因：

• 投资者对 ATM 附近期权需求增加

• Put 用于对冲市场下跌风险

• Call 与 Put 曲线均可绘制出相似趋势

American Options（美式期权）

一、定义与特点

• 欧洲期权（European Option）：只能在到期日行权

• 美式期权（American Option）：可在到期日前或到期日任意时刻行权

• 美式期权的价值定义：

  最低需要的期权溢价，以建立一个至少能在任何行权时刻复制期权收益的自筹资金组合（self-financing portfolio）

• 若行权不是最优时，对冲组合会有正盈余

二、Black-Scholes PDE 的调整

• 由于早期行权特性，Black-Scholes 偏微分方程被替换为不等式系统（variational inequality）

• 直观理解：

• 对冲组合价值必须至少覆盖期权潜在的支付责任

• 若持有人非最优行权，组合允许取出部分资金

五、求解方法

• 一维特殊情况下可显式求解

• 一般需 数值方法（Numerical Methods） 求解美式期权价格

一、背景与动机

• 问题：Black-Scholes 模型假设波动率常数，但在实际市场中观察到：

• 大波动后更可能大波动，小波动后更可能小波动

• 波动率非恒定，存在波动率簇（volatility clustering）

• 收益分布存在高峰厚尾（excess kurtosis & fat tails）

• 目标：

• 构建能够反映实际市场波动率与收益分布的定价与对冲模型

• 模型需具备一致性（consistency）与稳定性（stability），方便市场校准

二、方法概览

• 随机波动率模型（Stochastic Volatility Models）：

• 计算量大、校准复杂

• 时间成本高，不便于实际操作

• 如 Heston 模型

• 问题：

• 解决思路：

• 引入局部波动率模型（Local Volatility Models）

• 1994 年由 Dupire 提出

• 其他相关贡献者：Derman & Kani

三、局部波动率模型分类

1. 参数化模型（Parametric Models）

• 对波动率定义参数函数

2. 非参数化模型（Non-parametric Models）

• 不假设具体参数形式，由数据直接推导

• Dupire 模型属于非参数化模型

五、实践与应用

• 在 Jupyter Notebook 中：

• 提供了如何处理并校准 Dupire 模型的示例

• 用于匹配市场波动率笑脸

• Dupire 模型是局部波动率模型的典型代表，非参数化

实践中的解决方法

• 插值（Interpolation）：

• 为得到平滑连续的波动率曲面，可对原始数据进行插值

总结

总结：

• 计价单位变换不会改变波动率矩阵或布朗运动的协方差结构

• 漂移项根据公式调整

Local Volatility Models – CEV (Constant Elasticity of Variance) 模型

1. 模型概述

• 类别：参数化局部波动率模型（Parametric Local Volatility Model）

• 代表模型：CEV（Constant Elasticity of Variance）模型

• 核心思想：

• 与非参数化模型（如 Dupire 模型）相比，CEV 模型更简单，计算效率更高。

• 能够捕捉波动率随行权价变化的现象（volatility smile / skew）。

4. Python 实践与校准

1. 实现模型：

• 使用 Hsu 2008 的符号体系

• 输入参数：β\betaβ、σ\sigmaσ 等

2. 获取市场数据：

• 使用 Yahoo Finance 获取期权市场价格及隐含波动率

• 输入实际到期日以获取对应数据

3. 校准（Calibration）：

• 初步模型可能对某些行权价拟合较好（如 ATM），对深度 ITM / OTM 拟合差

• 使用**最小二乘法（Mean Squared Error）**优化 β\betaβ、σ\sigmaσ 等参数

• 目标：最小化模型价格与市场价格的偏差

4. 校准效果：

• ATM 期权拟合较好

• 深度 ITM / OTM 仍可能存在偏差

• 校准后的模型更接近市场价格

CEV 模型校准（Calibration）

• 目标：将模型价格尽量拟合市场实际价格

• 方法：

• 因为使用 风险中性定价，其他参数（如 r）固定

1. 仅优化两个参数：σ\sigmaσ 和 β\betaβ

2. 定义 均方误差（MSE） 作为目标函数

3. 使用 SciPy 的 minimize 函数进行优化

• 优化效果：

• MSE 明显下降

• 优化后的 CEV 模型价格更接近市场价格

• 可以用图形对比优化前后价格与市场价格的差异

• 小结：

• 校准过程本质是：选择最优参数，使模型输出与市场价格误差最小

• 是量化交易和衍生品定价中最关键的技能之一