【26版步步高高中数学人教A版必修二学习笔记第六章6.3.5平面向量数量积的坐标表示

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6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

［学习目标］　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.(重点)2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(难点)

导语

同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？

一、平面向量数量积的坐标表示

问题1在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a=(x_1，y1)，b=(x_2，y2)，你能给出a·b的值吗？

提示　根据向量数量积的定义，易得i·i=1，j·j=1，i·j=0.

∵a=x₁i+y₁j，b=x₂i+y₂j，

∴a·b=(x₁i+y₁j)·(x₂i+y₂j)

=x₁x₂i²+x₁y₂i·j+x₂y₁j·i+y₁y₂j²

=x₁x₂+y₁y₂.

知识梳理

设a=(x_1，y1)，b=(x_2，y2)，

则a·b=x₁x₂+y₁y₂.

例1　若向量m=(2，-1)，n=(3，2)，则(2m+3n)·(m-n)等于(　　)

A.-25B.25C.-19D.19

答案　A

解析方法一因为向量m=(2，-1)，

n=(3，2)，

所以2m+3n=(4，-2)+(9，6)=(13，4)，m-n=(-1，-3)，

所以(2m+3n)·(m-n)=(13，4)·(-1，-3)=13×(-1)+4×(-3)=-25.

方法二因为向量m=(2，-1)，n=(3，2)，

所以m²=5，m·n=4，n²=13，

(2m+3n)·(m-n)

=2m²+m·n-3n²

=2×5+4-3×13=-25.

反思感悟(1)已知向量的坐标进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x₁x₂+y₁y₂.

(2)在运算的过程中，我们可以有两种方式，一种是先把各向量用坐标表示出来，再进行数量积的运算；另一种是先利用数量积的运算律将原式展开，再用坐标逐个计算其中的未知量.

(3)常用的运算律有：

①(a+b)·(a-b)=a²-b²；

②(a±b)²=a²±2a·b+b².

跟踪训练1已知平面上三点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则·的值为(　　)

A.2B.-2C.4D.-4

答案　D

解析∵=(2，1)，=(-2，0)，∴·=2×(-2)+1×0=-4.

二、平面向量的模

问题2若已知a=(x_1，y1)，试计算a²和|a|²的值.

提示a²=a·a=x₁x₁+y₁y₁=|a|².

知识梳理

1.若a=(x，y)，则|a|²=x²+y²或|a|=.

2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x_1，y1)，(x_2，y2)，那么a=(x₂-x_1，y2-y₁)，|a|=.

例2　(1)已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，若|3a+b|=|3a-b|，则实数m的值为(　　)

A.1B.-1C.4D.-4

答案　B

解析方法一已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，

则3a+b=(9，3m+6)，3a-b=(3，3m-6)，

由|3a+b|=|3a-b|可得=，解得m=-1.

方法二∵|3a+b|=|3a-b|，

∴(3a+b)²=(3a-b)^2，

即9a²+6a·b+b²=9a²-6a·b+b^2，

∴12a·b=0，即a·b=0，

∴2×3+6m=0，m=-1.

(2)已知向量a=(2，4)，b=(1，n)，若a∥b，则|3a-nb|等于(　　)

A.4B.12C.8D.

答案　A

解析因为向量a=(2，4)，b=(1，n)，且a∥b，

所以2n=1×4，解得n=2，

所以3a-nb=3(2，4)-2(1，2)=(4，8)，

所以|3a-nb|==4.

反思感悟求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法

求模问题一般转化为求模的平方，即a²=|a|²=x²+y²，求模时，勿忘记开方.

跟踪训练2若向量a=(2x-1，3-x)，b=(1-x，2x-1)，则|a-b|的最小值为.

答案

解析∵a=(2x-1，3-x)，b=(1-x，2x-1)，

∴a-b=(2x-1，3-x)-(1-x，2x-1)=(3x-2，4-3x)，

∴|a-b|=

==

∴当x=1时，|a-b|取最小值为.

三、平面向量的夹角、垂直问题

知识梳理

设a，b都是非零向量，a=(x_1，y1)，b=(x_2，y2)，θ是a与b的夹角.

(1)cos θ==.

(2)a⊥b⇔x₁x₂+y₁y₂=0.

注意点：

(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆.

(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角.

例3(1)已知a=(4，3)，b=(-1，2).

①求a与b夹角的余弦值；

②若(a-λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值.

解①设a与b的夹角为θ，因为a·b=4×(-1)+3×2=2，|a|==5，|b|==

所以cosθ===.

②因为a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)，

且(a-λb)⊥(2a+b)，

所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0，解得λ=.

(2)已知向量a=(-2，1)，b=(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是.

答案∪

解析当a与b共线时，-2k-1=0，解得k=-，此时a与b反向，夹角为180°，要使a与b的夹角为钝角，

则有a·b<0，且a与b不反向，即k≠-.

由a·b=-2+k<0得k<2，

所以实数k的取值范围是∪.

反思感悟解决向量夹角问题的方法及注意事项

(1)求解方法：由cosθ==直接求出cosθ.

(2)注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ=判断θ的值时，要注意当cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.

跟踪训练3(1)已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　)

A.2B.C.0D.-

答案　B

解析因为a=(1，)，b=(3，m).所以|a|=2，|b|=·b=3+m，

又a，b的夹角为，所以=cos，即=，所以+m=，解得m=.

(2)若平面向量a=(1，x)，b=(2x+3，-x)，且a⊥b，则|a-b|=.

答案　10或2

解析∵a⊥b，∴a·b=0，即2x+3-x²=0，

∴x=-1或3.

又∵a=(1，x)，b=(2x+3，-x)，

∴a-b=(-2x-2，2x)，

当x=-1时，a-b=(0，-2)，

∴|a-b|=2；当x=3时，a-b=(-8，6)，

∴|a-b|==10.

1.知识清单：

(1)平面向量数量积的坐标表示.

(2)|a|=.

(3)a⊥b⇔x₁x₂+y₁y₂=0(a，b为非零向量).

(4)cosθ==(θ为非零向量a，b的夹角).

2.方法归纳：化归与转化.

3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.

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