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10.1.2 事件的关系和运算
［学习目标］ 1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.(重点)2.通过实例了解并、交事件的有关性质，掌握随机事件的运算法则.(难点)
导语
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.
一、事件的关系
问题1在掷骰子试验中，事件A=“点数为1”，事件B=“点数为奇数”，表示A与B两事件的集合有什么关系？A与B事件有什么关系？
提示 集合B包含集合A；事件A发生，则事件B一定发生.
知识梳理
| 定义 | 符号 | 图示 |
包含关系 | 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) | B⊇A (或A⊆B) |
|
相等关系 | 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 | A=B |
|
例1在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A=｛出现1点｝；B=｛出现2点｝；C=｛出现3点｝；D=｛出现4点｝；E=｛出现5点｝；F=｛出现6点｝；G=｛出现的点数不大于1｝；H=｛出现的点数小于5｝；I=｛出现奇数点｝；J=｛出现偶数点｝.
请判断下列两个事件的关系：
(1)BH；(2)DJ；
(3)EI；(4)AG.
答案 (1)⊆ (2)⊆ (3)⊆ (4)=
解析因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A=G.
反思感悟判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
跟踪训练1同时掷两枚硬币，向上的面都是正面为事件A，向上的面至少有一枚是正面为事件B，则有( )
A.A⊆BB.A⊇B
C.A=BD.A与B之间没有关系
答案 A
二、事件的运算
问题2在掷骰子试验中，记事件C为“点数不大于3”，事件D为“点数为2或3”，事件E为“点数为1或2”，则集合C与集合D，E有什么关系？事件C与事件D，E有什么关系？
提示 集合C是集合D与集合E的并集；当事件D和事件E至少有一个发生时，事件C一定发生.
问题3 在问题2的条件下，记事件F为“点数为2”，则集合F与集合D，E有什么关系？事件F与事件D，E有什么关系？
提示 集合F是集合D与集合E的交集；当事件D与事件E同时发生时，事件F一定发生.
问题4怎样从集合的角度理解并事件和交事件？
提示 事件的并、交可以借助集合的并集、交集进行理解.
知识梳理
1.
| 定义 | 符号 | 图示 |
并事件(或和事件) | 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) | A∪B (或A+B) |
|
交事件(或积 事件) | 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) | A∩B (或AB) |
|
2.类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如：对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A，B，C中至少有一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生，等等.
例2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A=｛3个球中有1个红球、2个白球｝，事件B=｛3个球中有2个红球、1个白球｝，事件C=｛3个球中至少有1个红球｝，事件D=｛3个球中既有红球又有白球｝.
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解(1)对于事件D，可能的结果为3个球中有1个红球、2个白球或有2个红球、1个白球，故D=A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为3个球中有1个红球、2个白球或有2个红球、1个白球或有3个红球，故C∩A=A.
延伸探究在本例中，设事件E=｛3个球均为红球｝，事件F=｛3个球中至少有一个白球｝，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？
解因为事件C的可能结果为3个球中有1个红球、2个白球或有2个红球、1个白球或有3个红球，共三种情况，所以B⊆C，E⊆C，而事件F的可能结果为3个球中有1个白球、2个红球或有2个白球、1个红球或有3个白球，所以C∩F=｛3个球中有1个红球、2个白球或有2个红球、1个白球｝=D.
反思感悟事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
三、互斥事件与对立事件
问题5在掷骰子试验中，记事件B为“点数为奇数”，事件G为“点数为偶数”，事件A为“点数为1”，则事件A与事件G有何关系？事件B和事件G有什么关系？
提示 事件A与事件G不会同时发生.事件B与事件G不会同时发生，且在一次试验中，B与G一定会有一个发生.
知识梳理
1.互斥事件
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容).
2.对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为
.
例3某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)恰有1名男生与2名全是男生；
(2)至少有1名男生与2名全是男生；
(3)至少有1名男生与2名全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生.
解(1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.
(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件.
(3)因为“至少有1名男生”与“2名全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
(4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.
反思感悟辨析互斥事件与对立事件的思路
(1)从发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
(2)从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
跟踪训练2一次试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )
A.互斥不对立B.对立不互斥
C.互斥且对立D.不互斥也不对立
答案 C
解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.
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