【26版步步高高中数学人教A版必修二学习笔记第六章习题课平面向量中的最值与范围问题

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习题课　平面向量中的最值与范围问题

［学习目标］会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题.(重难点)

导语

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.

一、线性运算中的最值与范围问题

例1　已知向量a，b，c满足a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b，则|c|的最小值为(　　)

A.B.C.D.

答案　B

解析∵a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b=(3λ，4-4λ)，

∴|c|===≥=

当且仅当λ=时，等号成立，故|c|的最小值为.

反思感悟利用向量模的公式，把问题转化为二次函数的最值问题，应注意变量的取值范围.

跟踪训练1　设=(1，-2)，=(2^m，-1)，=(-2ⁿ，0)(m，n∈R，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则m+n的最大值为(　　)

A.-3B.-2C.2D.3

答案　A

解析由题意易知，∥，其中=-=(2^m-1，1)，=-=(-2ⁿ-1，2)，

∴(2^m-1)×2=1×(-2ⁿ-1)，∴2^m+1+2ⁿ=1，

∵2^m+1+2ⁿ≥2=2

∴2^m+n+1≤2^-2，∴m+n≤-3(当且仅当m=-2，n=-1时取等号).

二、向量数量积的最值与范围问题

例2　在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=，点P在边CD上，则·的取值范围是(　　)

A.［-1，8］B.［-1，+∞)

C.［0，8］D.［-1，0］

答案　A

解析由题意，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=，

以A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(4，0)，D(1，)，

设P(x，)，则1≤x≤5，

所以=(-x，-)，=(4-x，-)，

所以·=x(x-4)+3=x²-4x+3=(x-2)²-1，

设f(x)=(x-2)²-1，可得f(x)在［1，2)上单调递减，在［2，5］上单调递增，

所以f(x)_min=f(2)=-1，f(x)_max=f(5)=8，

所以·的取值范围是［-1，8］.

反思感悟建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数、基本不等式等求最值或范围.

跟踪训练2　已知O为坐标原点，向量=(2，2)，=(4，1)，在x轴上取一点P使·取得最小值，则P点的坐标是(　　)

A.(-3，0)B.(2，0)

C.(3，0)D.(4，0)

答案　C

解析设P点坐标为(x，0)，则=(x-2，-2)，=(x-4，-1)，

·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x²-6x+10=(x-3)²+1，

当x=3时，·有最小值1，此时P点坐标为(3，0).

三、向量模与夹角的最值问题

例3　已知|a|=1，向量b满足2|b-a|=b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最小值为.

答案

解析∵|a|=1，∴设a=(1，0)，b=(x，y)，

∴b-a=(x-1，y)，

由2|b-a|=b·a，得2=x，则x>0，

∴4(x-1)²+4y²=x^2，

∴y²=-x²+2x-1，

∴cosθ==

==

==

∴当=1，即x=1时，cosθ取得最小值.

反思感悟将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值或范围.

跟踪训练3已知|a+b|=2，向量a，b的夹角为，则|a|+|b|的最大值为.

答案

解析将|a+b|=2两边平方并化简得(|a|+|b|)²-|a||b|=4，由基本不等式得|a||b|≤=，故(|a|+|b|)²≤4，即(|a|+|b|)²≤，即|a|+|b|≤，当且仅当|a|=|b|=时，等号成立，所以|a|+|b|的最大值为.

1.知识清单：

(1)线性运算中的最值与范围问题.

(2)向量数量积的最值与范围问题.

(3)向量模与夹角的最值问题.

2.方法归纳：转化与化归，数形结合.

3.常见误区：函数的最值范围问题的计算.

1.已知向量a=(1，0)，b=(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a+b|的取值范围是(　　)

A.B.

C.D.

答案　D

解析因为a+b=(1+cosθ，sinθ)，

所以|a+b|===

因为θ∈，所以cosθ∈，所以2+2cosθ∈

所以|a+b|的取值范围是(］.

2.在△ABC中，AB=2，AC=1，∠ACB=是线段AB上的点，则·的取值范围是(　　)

A.B.

C.D.

答案　B

解析因为AB=2，AC=1，∠ACB=

所以以C为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

则C(0，0)，B()，A(0，1)，设F(x，y)，因为F是线段AB上的点，

所以=λ(0≤λ≤1)，即(x，y-1)=λ()，

所以x=λ， y=-λ+1，所以F(λ，-λ+1)，

·=(-λ，λ)·(λ，-λ+1)=-4λ²+λ=-4+

则当λ=时，·有最大值，当λ=1时，·有最小值-3.

所以·的取值范围是.

3.已知平面向量a与a+2b的夹角为30°，则的最大值为(　　)

A.B.2C.4D.8

答案　C

解析以向量|a|与2|b|为两边作△ABC，如图所示，设a=b=，

则a+2b=CAB=30°，

则在△ABC中，||≥||sin∠CAB，

即2|b|≥|a|，则≤4，

所以的最大值为4.

4.平面向量a，b满足|a|=1，=1，记〈a，b〉=θ，则sin θ的最大值为(　　)

A.B.C.D.

答案　A

解析因为|a|=1，=1，所以=|b|²-3a·b+|a|²=1，

|b|²-3|a|·|b|cosθ+-1=0，即|b|²-3|b|cosθ+=0，

所以cosθ==+≥2=，当且仅当|b|=时等号成立，因为〈a，b〉=θ，θ∈

所以sinθ=≤=

则sinθ的最大值为.

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