一、现代逻辑及其符号语言
核心目标：对演绎论证有充分的理解，需要一个关于演绎的一般理论。该理论含两大目标：一是解释演绎论证中前提和结论之间的关系；二是提供区分有效演绎和无效演绎的技术。
两大逻辑理论分支：
第一分支：古典（或亚里士多德）逻辑——第5-7章已对其进行考察
第二分支：现代（或现代符号）逻辑——本章和后两章的主题
关键区分：虽然这两大逻辑理论分支有相似的目标，但它们达到目标的方式却截然不同。现代逻辑并不建立在前面几章所讨论的三段论系统基础之上，也不始于对直言命题的分析。现代逻辑的宗旨还是要将有效论证与无效论证区别开来，但是它为了达到这一目标所使用的是与古典逻辑完全不同的概念和技术。因此，我们现在必须重新构造一个现代逻辑系统来处理三段论逻辑处理的那些问题，甚至更为有效地处理那些问题。
现代逻辑的起点：现代逻辑首先识别与区分演绎论证所依赖的简单陈述和复合陈述。在此基础上，就能给出这些论证的一般解释，由此也能找到检验这些论证有效性的方法。
为什么需要人工符号语言：对演绎的这种分析需要人工符号语言。在自然语言中有些东西会使精确的逻辑分析变得困难：语词可能是模糊的或歧义的，论证的结构可能是含混的，比喻和习语可能会引起混淆或误导，诉诸情感可能会引起混乱等。通过人工语言，逻辑关系可以精确地被表述出来，上述困难中的大部分都能被克服。
符号的作用：符号能极大地便利我们对论证的思考。它们使我们直达一个论证的核心，将其非本质属性放在一边而展示出论证的本质属性。并且，使用符号，我们几乎用眼睛就可以机械地进行推理转换，否则，这种转换本来要求大脑有很高的智能。
二、真值函项性：简单陈述与复合陈述
两类论证示例：
示例一（析取三段论）：
那个盲囚戴着红帽子或者那个盲囚戴着白帽子。
那个盲囚没戴红帽子。
因此，那个盲囚戴着白帽子。
示例二（否定后件式）：
如果鲁宾逊先生是那个司闸员的邻居，那么鲁宾逊先生住在底特律和芝加哥之间。
鲁宾逊先生不住在底特律和芝加哥之间。
因此，鲁宾逊先生不是那个司闸员的邻居。
陈述分类：大多数这种类型的论证都至少包含一个复合陈述。研究这样的论证，我们把所有陈述分为简单陈述和复合陈述两个大类。
真值：为了理解这种区分，必须首先理解每个陈述要么为真要么为假。在逻辑学中，我们把这个性质叫作真值：真陈述的真值为真，假陈述的真值为假。
真值函项/真值函项性：此外，每一个陈述在如下特定含义上是一个真值函项或真值函项性，即它的真值是由一个或更多构成该陈述的分支陈述的真值所唯一确定的。
简单陈述的定义：一个简单陈述不是其他陈述的真值函项。譬如，"查理是整洁的"就是一个简单陈述。一个复合陈述是至少一个其他陈述的真值函项。譬如，"查理是整洁的并且查理是可爱的"就是一个复合陈述，因为它是两个其他陈述（"查理是整洁的"和"查理是可爱的"）的真值函项。
简单陈述的极限情形：逻辑中的定义和原则的阐述，必须非常精确。表面上看似简单的东西往往被证明比人们想象的要复杂。"查理是整洁的"作为一个陈述是一个真值函项，但它是其本身（即其分支陈述"查理是整洁的"）之真值函项：它的真值就是它本身真值的函项而非其他。这是简单陈述的特性，是真值函项的极限情形。一个简单陈述是且只是它本身的真值函项这一事实，意味着它本身不是其他陈述的真值函项（正如以上所定义）。
复合陈述的定义：一个复合陈述不是简单陈述，这意味着它是至少一个其他分支陈述的真值函项。例如，复合陈述"查理是整洁的并且查理是可爱的"就是至少一个其他分支陈述的真值函项；事实上它是两个分支陈述（"查理是整洁的"和"查理是可爱的"）之真值函项，即"查理是整洁的并且查理是可爱的"的真值是"查理是整洁的"和"查理是可爱的"的真值函项。同样，复合陈述"那个盲囚戴着红帽子，或者他戴着白帽子"则是"那个盲囚戴着红帽子"和"那个盲囚戴着白帽子"这两个陈述的真值函项。
否定作为复合陈述：陈述"查理不是整洁的"在逻辑中常被表达为"并非查理是整洁的"，从而是一个复合陈述，因为它是另一个陈述"查理是整洁的"的真值函项。"查理不是整洁的"为真，当且仅当，"查理是整洁的"为假；而"查理不是整洁的"为假，当且仅当，"查理是整洁的"为真。
关键事实：这些例子说明了关于简单陈述与复合陈述的一个重要事实。既然简单陈述不是其他陈述的真值函项，简单陈述就不包含能够作为逻辑词汇的语词，比如"并且"、"或者"、"如果……那么"、"当且仅当"或"并非"。而因为一个复合陈述是至少一个其他陈述的真值函项，所以它至少包含一个词作为逻辑词汇（比如"并非"或"并且"）。
判定标准：因此，我们有两种相互关联的标准来确定一个给定的日常陈述是简单的还是复合的。
第一，我们可以检查一个陈述是不是其他不同陈述的真值函项。
第二，我们可以检查一个陈述是否包含逻辑词汇。
真值函项分支的定义：当一个陈述的分支陈述为任何其他具有相同真值的陈述所替代，而仍与原陈述有相同的真值时，我们就把该分支陈述定义为原陈述的真值函项分支）。
示例说明：例如，"巴拉克·奥巴马是美国第42届总统"就不是"阿比盖尔相信巴拉克·奥巴马是美国第42届总统"的真值函项分支，因为我们用其他陈述（"巴黎是法国的首都"）替换前者后，替换后的陈述与原陈述的真值可以不同。相反，"查理是整洁的"就是"查理是整洁的并且查理是可爱的"的真值函项分支。如果这个合取陈述是真的，"查理是整洁的"就是真的；且如果我们用任何其他陈述（如"巴黎是法国的首都"）替换"查理是整洁的"，由此得到的陈述就与原合取陈述有相同的真值（即都为真）。基于这个定义，一个复合陈述就至少由一个真值函项分支构成。
三、合取、否定与析取
五个逻辑算子：复合的真值函项陈述包含一个或多个逻辑词汇作为逻辑算子。在命题逻辑的符号语言中（正如我们正要展示的）有五个逻辑算子：
"·"（圆点符，代表"并且"）
"∨"（楔劈符，代表可兼的"或者"）
"⊃"（马蹄符，代表"如果……那么"）
"≡"（三杠号，代表"当且仅当"）
"~"（波浪符或卷曲符，代表"并非"）
前四个逻辑算子联结两个陈述，因此它们常被叫作"联结词"或"逻辑联结词"。第五个逻辑算子不是联结两个陈述，而是置于一个陈述的前面（左边）。
A. 合取
定义：我们首先考察的真值函项复合陈述是合取陈述。通过在两个陈述之间使用语词"并且"，可以形成它们的合取；被如此联结的两个陈述叫合取支。
示例：复合陈述"查理是整洁的并且查理是可爱的"就是一个合取。它的第一个合取支是"查理是整洁的"，第二个合取支是"查理是可爱的"。
符号化：语词"和"是个简短且便利的词，但除了联结陈述外，它还有其他一些用法。譬如，陈述"林肯和格兰特是同时代人"不是一个合取，而是一个表达关系的简单陈述。为了有一个其唯一功能是合取地联结陈述的独特符号，我们引入圆点 "·" 作为合取符号。于是，前述合取可以写成"查理是整洁的·查理是可爱的"。更一般地，如果p和q代表任意两个陈述，它们的合取就写为 p·q。在一些书籍中，也用其他符号表示合取，如"∧"或"&"。
合取的真值条件：一个合取陈述是真的，当且仅当，它的两个合取支都是真的；否则，它就是假的。已知任何两个陈述p和q，它们只有四种可能的真值组合。这四种可能情形及每种情形下该合取的真值可以排列如下：
- 如果p为真且q为真，那么p·q为真。
- 如果p为真且q为假，那么p·q为假。
- 如果p为假且q为真，那么p·q为假。
- 如果p为假且q为假，那么p·q为假。
自然语言中的省略表达：在自然语言中，通过在两个谓项之间加"和"而不重复主项，可以使得合取支有相同主项的那些合取更简明甚或更自然。譬如，"拜伦是一个伟大的诗人并且拜伦是一个伟大的冒险家"就可以写成"拜伦是一个伟大的诗人和伟大的冒险家"。我们把后者看作和前者一样表示了同样的陈述，并且把它们无差别地符号化为 P·A。同样，在自然语言中，如果一个合取的所有合取支都有相同的谓项，该合取通常被写成在两个主项之间加"和"而不重复谓项。例如，"刘易斯是一个著名的探险家并且克拉克是一个著名的探险家"可以写成"刘易斯和克拉克是著名的探险家"。这两种表述中的任何一个都可以符号化为 L·C。
"并且"的时序关联用法：正如合取的真值表定义所表明的，一个合取是真的，当且仅当，它的合取支都是真的。但语词and（"和""并且"）还有另外一种用法，其指谓的不只是（真值函项）陈述，还有"随之而来"的意味，即时续关联。例如，陈述"琼斯从纽约进入该国并且直接赶往芝加哥"是有意义的且可能是真的，而陈述"琼斯直接赶往芝加哥且从纽约进入该国"则几乎不可理解。"他脱了鞋并且上了床"和"他上了床并且脱了鞋"之间也有很大的区别。对这样例子的更深入的把握，就需要一个不同于真值函项联结词的用法的特殊符号。
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