大学无意间在图书馆看到了齐民友的《重温微积分》，我埋下了“重温”的种子，想着某一天兜兜转转，要绕回来看看。我知道大学的数学物理没有学好，靠考前突击混了四年。近几年探索人文艺术，感受到了“另一片大陆”的限制，常常想重温理科。今年，终于借由Cohen的《量子力学》开了个头。
杨振宁先生的一些话是我此次重温的准则。一次讲座中，他说，一次他见到一位聪慧的学生，对于物理问题对答如流。杨先生问他，你觉得量子力学中有什么想法是妙的？他答不出。这次再学量子力学，我不要求自己能推导出所有公式，会做题，而是把重心放在审美上，去思考有什么想法是不平凡的？
杨先生还说到他的博士导师泰勒，一天有十个想法，可能有九个半是错的，但是哪怕只有半个是对的，日积月累，也能前进不少。所以，我把学习时的心得和理解记录下来，不管对不对，先集中发到公众号上来，作为自我督促。
1）由Stern-Gerlach实验可以知道Sz的每一个本征值都是非简并的，以及Sz本身构成一个CSCO，这是由序贯实验结果决定的。因为如果确定Sz就能确定粒子的量子态，那么我们对于同一本征值的银原子后续无论施加什么样的磁场或电场，只要不改变原子内部的能级状态，都不会观察到进一步的离散分裂。
2）在Stern-Gerlach实验中，银原子经过磁场偏转过以后，位置和自旋这两个本身独立的态发生了纠缠。一开始，当向上和向下两个波包十分接近的时候，是相干纠缠，两个波包有重叠和干涉。但是当它们受到空气分子的干扰、屏的干扰或者热辐射，坍缩到向上或者向下两个态的时候，两个波包也就分离开来，直到重叠项和相干基本为零，这个时候就变成了退相干纠缠。我们会发现位置和自旋牢牢地绑定在了一起，位置成了自旋的“代言人”。
3）考虑给银原子施加均匀电场，它随时间演化的本征矢，就是Sz的本征矢。我们跟Stern-Gerlach实验做对比，就会发现两种磁场条件下状态分裂是一致的。只不过Stern-Gerlach实验中角动量分裂表征为空间的分裂，而在均匀磁场中，能量的分裂表征为频率差，即拉莫尔进动。显然后者是更不好测量的，因为粒子的自旋在x-y平面上转动，需要去测量x或y方向自旋平均值的周期性变化，或者是诱导磁共振，才能够观测到频率差。
4）讨论两能级系统的微扰，前提是微扰的强度远远小于能级间距，所以我们就不需要考虑其他能级，只需要在这个二维子空间内工作。这个时候空间的维数是不变的，只是会改变本征态和本征值。
5）微扰中改变本征态的是它的非对角项。可以从两个视角来理解。第一个视角是，微扰矩阵的非对角元表示了能级之间的跃迁，所以原系统就不再是定态了，会引起态之间的混合，产生新的本征态。
第二个视角是，微绕矩阵的对角元只是会拉伸本征态，改变本征值，但是不会改变本征态。而非对角项试图旋转原本的基矢，这个时候就必须要调整基矢，才能在新的哈密顿量下使其正交归一。
1）两能级系统的微扰或耦合：简并态对于耦合更加敏感。这说明简并态是更不稳定的，因为任何微小的耦合或扰动打破这种脆弱的平衡，导致能级的分裂。
可以直观地想到，耦合会产生两个本征模。一个是建设性的干涉，两个态“合作”，能量更低更稳定。另一个是对抗性的干涉，能量会漂到更高的位置。
2）在讨论苯分子如何通过共振达到稳定的时候，假定了哈密顿算符的非对角元不等于0，这是因为两种凯库勒结构的电子排布是有重叠的。另外一个解释是，实验观察到苯的6个化学键完全一样，所以实际情况一定跟两种构型有所偏离，这种偏离就意味着两种态之间的流通。
先假定一种定域的构型（注意 我们在一种构型下假定波函数，因为本身波函数就意味着一个大致封闭的区域，在这个区域内极大可能找到电子，而内外之别就导致了空间的不对称分布，即构型），再讨论它的离域性，实际上就是先讨论零级近似，在讨论一级或二级的小量。
3）在两能级系统的微扰问题中，如果两个本征态是简并的，并且体系从某个本征态开始演化，那么可以周期性地完全演化到另一个本征态。这是符合直觉的，因为两个态具有完全的对称性，就像单摆一样，如果从一边的某个位置放手，那么一定可以在对称的位置上静止。
4）微扰与不稳定态寿命：若把氢原子当做一个孤立体系，那么它有诸多能级，对应诸多本征态。若系统从本征态开始演化，便会无限期停留在该定态上。但是氢原子并不是孤立的，而是与背景电磁场作用，作用的量级可看作微扰。在微扰下，一是会使能级变宽，二是有一定的概率“逃离”本征态。前者对应能级的自然宽度，后者对应能态的寿命（概率的倒数）。
5）引入复数能量本征值来刻画态的衰减：能量里头的实部和虚部差90°相位。怎么理解这个90°的差？在阻尼振动方程里头，恢复力项是二阶导，阻尼像是一阶导。而在薛定谔方程当中，差的这一阶导数用i表征。
1）在任意势阱当中的粒子，束缚态的能量都是离散的，这是因为，在特定能量下波函数才是平方可积的。怎么理解波函数在无限远处发散的情况？它是一种概率上的混乱。之所以混乱，是因为粒子在势阱中振荡，无法通过相长干涉形成稳定的模式。波函数发散，不是穿出势阱的概率无限大，而是波函数无法锁住这个粒子。无法锁住不是因为粒子钻了出去，而是这种不稳定的状态会衰减为零。
2）势阱中的基态能量一定大于而不能等于最低势能，这是由不确定原理决定的。因为如果粒子静止待在最低点，波函数定域在一点处，那么动能就需要无限增大。
势阱中粒子的能量严格小于0。能量大于0的粒子严格地无法形成束缚态。那么在库伦势阱中，氢原子中是如何保证电子量严格小于0呢？假设无穷远处势能为0。若粒子想从原子核逃逸，那么它至少能够移动到无穷远处静止下来（此时动能势能均为0）。既然氢原子是稳定的，电子在核附近被发现的概率极高，也就是它很难达到自由的状态。但是离散的光谱将严格地确定，电子的能量小于0。因为只有在负能量的状态下，薛定谔方程才有离散解。如果电子有任何“外漏”的倾向，即它是一个准稳态，那么光谱线就会有一个明显的、无法消除的宽度。而氢原子基态能级的极高稳定性和光谱线的极窄宽度说明这种能量弥散不存在。
3）动量和能量算符的不可对易性导致一维谐振子的哈密顿算符无法因式分解成线性项的乘积（多出1/2），于是基态的能量不为零。而算符的不可对易和基态能量不为零都可以由不确定原理解释。
4）几何解释：一维谐振子的哈密顿量是相空间里的一个圆。升降算符是相空间内相反方向的旋转变换。升降算符乘积的顺序不同，代表相空间内先正后倒，和先倒后正，两条“路径”回到原点。
这两条“路径”是不同的，它们围成了一个闭合“”区域。这个“区域”的面积必须是h的整数倍（玻尔-索末菲量子化条件）。因为相空间里围成的面积在经典物理里是作用量S，对应量子相位。而波函数绕一圈之后的相位 必须是2pi的整数倍，所以相空间中允许的面积必是量子化的。
升降算符在相空间中的“运动”，既有径向变化，也有切向变化。因为只有经典运动才允许相空间里头的圆周运动（只有切向变化）。圆周运动意味着x和p都是确定的，这是不可能的。所以量子世界中的运动在相空间里的“轨迹”总带有模糊和阴影。
以上打引号的概念都是经典图像下的隐喻，是为了建立直觉的权宜之计，而不是严格的物理图像。严格的讨论涉及到辛几何，几何量子化和Wigner函数。
1）一维谐振子的能级是非简并的：一个解释是，薛定谔方程是二阶常微分方程，解空间原本是二维的。而对于束缚态，波函数要在±∞处消失，也就是有了两个边界条件。出现简并的情况，当且仅当有一个解可以同时满足两边的边界条件，而这是不可能的。因为左右两端的解都会有一项在另一端发散。所以解空间只能是零维或者一维的，对应的是一个零解（没有物理意义）或者是唯一的态。
2）因为谐振子中能级越高，那么在端点处（振幅极大处）的概率就越显著。这回应了经典运动的一个特征，就是在振幅最大处的运动速度为零，相应的耗费的时间就会更长。
另外可以发现能级越高，端点堆积就越明显。这是因为谐振子在相空间中做椭圆运动。虽然不同能级椭圆的形状不变，但是能级越高，椭圆越大，端点处的弧段就越接近竖直，投影到 X 轴时就会被压缩得越厉害，概率的峰值就会越高。
3）一维谐振子中，能级越高X和P的方均根偏差越大。这可以直接由位力定理和不确定原理导出。由不确定原理，X和P的方均根偏差乘积增大。由位力定理，二者需同时增大，而不能一个不动或者减少。从相空间考虑会更直观，因为能级增加时，相空间的椭圆等比例放大。在轴上的投影的统计宽度也会加宽。
4）一维谐振子当中的动量和位置观测算符只有次对角线上有非零值，相对应的，将这两个算符作用在第 N 个能级的本征态上，所得到的态矢量是前一个和后一个能级的本征态的线性叠加。
为什么不涉及到更多的本征态呢？我们可以将动量和位置算符看作是对于本征态的一个微小的扰动，将此本征态“向上拉了一把”，或者“向下推了一把”，使得它跃迁到了邻近的态。那么为什么不可能跃迁到更远的态呢？我们可以类比经典物理中的一维谐振子，无论如何去拉伸或者压缩弹簧，它只会以一个固定的频率振动。这种频率唯一性在量子力学中的体现就是，系统只能跃迁一个能级，只吸收或放出一个单位能量（即单位频率的响应）。
5）量子力学中两个耦合的谐振子，我们假设粒子1的所有观察算符与粒子2的所有观察算符都能对易。这是因为，当我们说粒子1和粒子2的时候，我们已经在做一个本体论承诺，即这个宇宙里存在两个可区分的物理实体。所以两个粒子体系的状态空间是张量积。这是我们选择粒子这种框架并且研究耦合所必须承认的。当这种框架在某些条件下变得笨拙的时候，就需要放弃粒子的描述，采取场或者准粒子或者某种集体模式的视角。
同样的道理，之所以能把“质心”和“相对粒子”两个简正变量当做是两个假想的粒子，是因为二者的所有观察算符都是互相对易的。
6）全同一维谐振子的无穷长链（经典处理）：
存在布里渊区，即波矢不能太大，是因为波矢太大的时候，空间相位的变化太快，但是因为模型是离散晶格，而不是连续介质，只有间隔l的地方才有粒子，才有物理意义。所以“采样”的频率是有上限的。大于采样频率的波矢跟布里渊区内的波矢是无法区分的。
角频率上下界的物理解释。当角频率低于单个振子的固有频率时，在量子模型当中，这个扰动的能量太低了，无法激发出一个声子。角频率同样也不能太高。这和波矢不能太大的理由是一样的。因为粒子之间是没有介质的，所以不像是在连续介质中一样，我们可以把波长压到无限短，让频率趋向无穷大。
1）连续介质和耦合谐振子的退耦过程，都用到了简谐函数。这是因为，两种模型都符合空间平移对称性。也就是说，空间平移算符T和系统状态的算符是对易的，本征态也是相同的。ψ(x)是T的本征态，则Tψ(x)=λ(a)ψ(x)。注意连续平移的叠加性质，有λ(a)λ(b)=λ(a+b)，这就要求解的形式是指数函数。
具体的函数形式由边界条件和耦合过程的算符决定。在连续介质模型中，耦合算符是二阶导数，边界条件是两个端点值为0，推出正弦函数。在耦合谐振子里，耦合算符是差分算符，指数函数能完美处理差分运算中的下标位移。
2）正则量子化是将经典世界转换成量子世界的协议和通道。方法就是找到广义坐标和广义动量过以后，把它们写成观察算符，并且约定对易关系。这种转换能够保持运动方程数学形式的不变性。
无论是泊松括号还是对易关系都满足李代数的几个基本性质，即线性，反对称性和雅克比恒等式。而这三个性质背后是对于动力学系统的一些最基本的假设，例如线性对应叠加原理，反对称性对应了作用与反作用，雅克比恒等式对应了多个操作之间的结合律。
3）晶格模型和连续介质的区别：色散关系
晶格模型中，色散关系是周期性的，表明介质是离散的。存在一个最大频率，也就是截止频率，这是因为介质是非连续的。在长波极限下，k很小的时候，原子间距可以忽略不计，晶体近似为连续介质，运动是协同的。k增加的时候，相邻原子间的相位差在变大，运动的同步性和不协调性在增加，这就导致能量（频率）的增长速度变缓。另外，注意声子的色散关系中截距为0，所以同光子一样，它的质量也为0。
连续介质模型（即电磁场）中，波长可以无限短，能量可以无限高，并没有截止频率，这是因为介质是连续的。另外光子的色散关系是直线，无论频率多高的光子都以光速运动。因为声速比光速慢了5个量级，所以在同样的波长下，光子的能量会比声子高得多。二者的检测手段也不同，声子可以通过中子散射实验，而光子可通过光电效应。
4）在连续介质模型当中，场量的均值为0，而平方均值不为0。前者意味着场是对称的，没有净输出；后者意味着场是存在的，具有能量。这可以用来解释真空中的量子涨落，真空并不是空无一物，而是有瞬时的、激烈的电磁震荡。
如果我们把场量S(x)看作是希尔伯特空间的一个常数，那么均值就是S(x)与常数函数1的内积，因为二者正交，所以内积为零。而平方均值指示了S(x)的范数，它是非0的。
5）考虑到旋转对称性，孤立原子系统有一个稳定的物理量，它不随观察角度而改变。怎么去刻画旋转总量这样一个标量守恒量呢？我们仿造欧式空间里的标量积，构造出J²算符，发现它和J的所有分量都是对易的。这说明这个旋转总强度不会受到任何一个方向的旋转操作的影响，也不会随着旋转坐标系的选择而变化。同时J²和H是对易的，说明在系统随时间演化过程中，它是一个守恒量。
对有中心势场的无自旋的粒子来说，它的哈密顿量具有旋转不变性，所以H和J的3个分量都对易，自然也就和J²对易。所以，H和J²对易揭示了系统的旋转对称性。此外，H和J²对易说明在演化过程中系统不仅能量守恒，能级（总旋转状态）也保持稳定。
6）x和y方向角动量算符的对易，等于z向角动量算符乘以i和约化普朗克常数。首先AB-BA描述的是两个操作顺序相反，导致系统的差异。我们会发现先绕y旋转，后绕x旋转，同先绕x旋转，后绕y旋转所积累的净效应等价于绕z轴的一次旋转。而前面的两个乘积因子，是由角动量算符构造旋转算符时产生的。约化普朗克常数平衡了角动量的量纲，最后生成的旋转角度是无量纲的。
至于i的引入，因为旋转变换是幺正变换（内积不变，相对关系不变），而R=exp(φJ)，所以J必须是反厄米的（J和其伴随算符互为相反数）。可是J是观测算符，必须是厄米的，所以前面需要乘上i。
7）看起来，旋转算符构成了旋转群的一个群表示是十分平凡的。所以，需要解释他的不平凡之处。
因为R作用于希尔伯特空间的态矢量，而观测值只取决于态矢量的模方，所以看上去R2R1=exp(iφ)R3也是合法的。之所以前面的相位因子是1，也就是说旋转不涉及相位的改变，是因为在坐标表象之下，粒子的态完全由它的位置决定，波函数是一个关于位置的标量场，并且这个标量场在每一个位置都是单值的。设想一下，如果旋转附带了一个相位差，那么可以想象，我们可以通过不同的路径从一个点到达另外一个点，而制造了不同的相位差，这样就破坏了波函数的单值性。当粒子有了自旋，也就是有了另外的自由度的时候，便有了相位差，这个时候旋转360° 就会造成180°的相位差。
并且要注意几何旋转是作用在三维空间，而旋转算符是作用在无穷维的复希尔伯特空间。能在这个巨大的函数空间里，找到一组线性算符，让它们表现得和三维空间里的几个转角一模一样，本身就是一件不平凡的事情。
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