大学无意间在图书馆看到了齐民友的《重温微积分》，我埋下了“重温”的种子，想着某一天兜兜转转，要绕回来看看。我知道大学的数学物理没有学好，靠考前突击混了四年。近几年探索人文艺术，感受到了“另一片大陆”的限制，常常想重温理科。今年，终于借由Cohen的《量子力学》开了个头。
杨振宁先生的一些话是我此次重温的准则。一次讲座中，他说，一次他见到一位聪慧的学生，对于物理问题对答如流。杨先生问他，你觉得量子力学中有什么想法是妙的？他答不出。这次再学量子力学，我不要求自己能推导出所有公式，会做题，而是把重心放在审美上，去思考有什么想法是不平凡的？
杨先生还说到他的博士导师泰勒，一天有十个想法，可能有九个半是错的，但是哪怕只有半个是对的，日积月累，也能前进不少。所以，我把学习时的心得和理解记录下来，不管对不对，先集中发到公众号上来，作为自我督促。
1）态矢量乘以全局相位因子过以后，表示同样的物理状态，这说明Hilbert空间中表示物理态的不是矢量，而是射线。严格来说，物理态空间是希尔伯特空间的射影化。
2）用Hilbert空间的矢量来表示量子态，存在数学上的冗余。一个是缩放冗余，因为倍数因子在计算概率的时候分子分母会抵消掉；一个就是全局相位的冗余。
3）一个Qubit有两个复参数，也就是在四维的实空间中，去掉上面说的两个冗余自由度，就只剩下了两个自由度，可以对应Bloch球上一个点。而布洛赫球就是射影空间的一个特例，它是一维复射影空间的几何表示。
4）薛定谔方程是量子力学的基本假定，也就是说它无法从更基本的原理中严密推导出来，而只能有一些更松散的“说明”，比如说它和哈密顿雅可比方程的形式一致性，在经典极限下的一致，也能够被氢原子光谱的数据验证。
5）在量子化规则当中，一个物理量可能对应多个可行的算符，例如x²p²可以拆解成xp²x或者½（x²p²+p²x²）。如果我们把经典力学看作是量子力学一种更粗糙的投影，在投影过程中损失了微观世界的非对易信息，那么我们没有办法从粗糙的投影，精确唯一地还原出全部信息。量子世界和经典世界具有不可唯一映射性（Groenewold-Van Hove Theorem）Weyl对称规则最简洁，在大多数情况下跟实验数据符合得也最好。
6）怎样去制备一个确定的量子态？它由一组CSCO的测量结果确定。也就是说测量不仅会干扰被观测对象，还会产生这个对象。测量就是创造。一个量子态被观察到的那一刻，也就是它产生的那一刻。也就是说，发现就是产生。
7）薛定谔方程关于空间是二阶的，这就意味着态的空间一阶导数通常也必须是连续的。根据概率流的表达式，那么概率流也是连续的。也就是说，对于一个体积元来说，概率既不会无缘无故蒸发，也不会无缘无故诞生，只会和周围环境发生交换。也就是它满足定域性。另外概率流是可以追踪的，当然也就可以从后面一个时刻推到前面一个时刻的量子态，这才能够解释演化算符的幺正性（幺正算符必然存在逆算符）。
8）根据概率流的公式可以算出，它只和波函数的相位变化有关，和幅值变化无关。也就是说振幅梯度值决定了粒子的静态分布，它“在不在”，相位梯度才决定了它的动量，它“往哪走”。
1）在经典物理当中，r和p随时间变化。而在量子力学当中，R和P是两个观测量，与时间无关，对时间的依赖性转移到了态矢量上。这是因为经典物理是质点视角，我们把那个变动着的东西看作是一个运动着的实体，背负着位置和动量的属性。而在量子物理中，那个变动着的东西类似于波包，是随时间变化的，那R和P作为一种空间的准则就可以不变了。
2）在海森堡图景当中，我们可以重新将演化的“负担”交给算符，这个时候态就不用变了。那么问题在于，（不考虑更为复杂的情况，如多粒子相互作用或者量子场论）为什么我们总能够让态矢量和算符保持一动一静呢？为什么我们不让二者都随时间变化呢？这是因为时间演化算符是幺正算符，而幺正算符具有复合性，即便一开始我们用多个幺正算符的乘积来刻画系统的演化，我们最终也可以把它只写成一个幺正算符，要不然作用到观测算符，要不然作用到态矢量，而没有必要让它们都随时间变动。
3）为什么Ehrenfest Theorem同哈密顿雅可比方程形式一致，但是它在经典极限下没有办法近似称牛顿定理？一个简单的解释是，哈密顿雅可比方程跟量子理论都是“波本位”的，注意如果我们把波函数写成极坐标形式，并且把相位记作经典作用量 S，在经典极限下，薛定谔方程就会演化成哈密顿雅可比方程。所以哈密顿雅可比方程关注的是S这个等相面（波前）。而牛顿方程式一个关乎位置坐标的二阶方程，可以通过初始量确定唯一的轨道，所以它是“粒子本位”的。如果让波本位的描述也能够符合粒子本位，波包就需要足够窄，足够窄的情况下，波描述和粒子描述中的诸多中心都重合。
4）对于叠加原理的一个说明：在双缝实验中，我们不能说物理体系通过了这个缝或者那个缝，这个态或者那个态，还是要说它们（在自由演化时）同时通过了所有诸态。注意前者是“或”的逻辑，是排他的，或的逻辑已经预设了测量，因为测量结果是非此即彼的，我们测成了这样，就不可能同时测成那样。而后者不是OR的逻辑，是AND的逻辑，叠加的逻辑。怎么理解这里头的“同时”。在经典逻辑当中，同时预设了两个或多个物体。比如这两辆车同时到达，那首先你得有两辆车。这是粒子观点。而在量子逻辑当中，本身就没有例子，只有弥漫在空间中的波函数。所以这里头的同时指的是系统的性质由多个共同演化、互相干涉的分量所共同决定。经典逻辑当中的同时是simultaneous, concurrent，量子逻辑的同时是superposed, coherent。
5）第三章最后讨论了选择性能不佳的仪器，实际上 如果测量量具有连续谱，那么仪器必然是非理想的，测量也必然是非理想测量。这一节想讨论的是，像是粒子通过狭缝这样一种“操作”，能否被视为测量？
它和测量相似的地方在于，它带来了波包的收缩，期望值的改变，我们能从中获取信息，并且它是不可逆的。它不符合测量的地方在于，测完的系统不处于某个本征态，而是一个态空间中的叠加态。在这里Cohen定义了一个广义投影算符，不是坍缩到某个本征态，而是坍缩到一个态空间。而且它也不符合正交性，即便我们测得了两个不同的值，也并不意味着对应的态就是正交的，两个态空间可能会有重叠的地方（比如两个狭缝离得很近）。
6）通过狭缝过以后，系统将以边缘切削过以后的波函数继续演化。这里切削带来了一个陡变，波函数和导数在边界处不连续了。但是在狭缝很窄的情况下，我们可以把它近似为一个方脉冲，在脉冲的宽度不为0的情况下，动量的不确定性，仍然是有限的、可控的。
1）在规范变换当中，我们假定R和P算符是不变的。因为R和P是空间的度量尺度，R通过将波函数乘以x加以区分，P是微分操作，是度量在某个方向上波函数相位变化的尺度。如果这种尺度随着规范变化的话，那么描述这个系统将是极其不稳定的，对易关系也会乱掉。注意，算符P不变不代表物理量p不变，当我们把动量算符和规范变换后的波函数乘在一起过以后，会发现p的增量，与经典物理当中的增量是一致的。
2）哈密顿量并不具备规范不变性，也就是说它不是真实的物理量，它不是在实验仪器上可以读取的“能量”。就像势能qU一样，当我们把零点规定到无穷远的时候，它就有了人为的成分。我们可以测到的是势能的变化和差值，而不是势能本身。
3）由惠更斯原理推广出传波函数：既然波函数是线性齐次方程的解，满足叠加原理，那么我们就可以做一个假想的拆分，即一个点上的波函数，是由此前很多点源“辐射”到该点的叠加。
4）我们从惠更斯原理定义的1到2的传播函数，可以简洁地表示成初态随时间演化后（即态空间的旋转后），在位置2的投影。也就是说，我们假想的中间的无数“路径”，都被完备地包含在了演化算符中。我们可以用希尔伯特空间的一个简单的转动，来等价地描述传播中的所有路径。
5）两种方式理解经典极限：在经典极限下，粒子系统的时间演化，呈现为空间坐标的一条路径。第一种解释是，在经典极限下，传波函数的相位变化极大，导致大多数路径相干抵消，在某一条路径及其无限邻近处作用量是稳定的，这条路径就变成了可观测的运动路径。
第二种解释是，在经典极限下，在每一个时刻，当我们将状态矢量投影到坐标和动量上的时候，都可以得到一个极其狭窄的点，这个点随时间演进形成了一条路径。对比量子态，当我们在某个时刻向位置空间投影的时候，会发现它在相当宽的位置区域上都有显著的分量，投影出来是一个“模糊的影子”。
1）在Stern-Gerlach实验中，我们假定出射的诸原子的磁矩是“各向同性”的，这种表述预设了方向。在经典解释中，这个方向指的是出射原子的角动量和磁场之间的夹角。但是在量子视角下，出射的原子角动量处于不确定的状态，因为角动量并不是其内禀属性，只有在测量之后，它才会分裂成向上或者向下。
那我们怎么理解“各向同性”呢？需要把它理解成一种空间对称性，如果环境是各向同性的（银原子在炉内加热的物理环境是各向同性的），那么系统在统计上就必须具有旋转不变性。但是我们不能够说出射的银原子的角动量具有球对称性，它只具有一种“潜在”意义上的对称性，一种概率幅的对称性，在测量后才能成为现实。球对称性的表现就是，无论去观测哪一个方向，都会发现自旋的分量是一半向上一半向下的。
2）Stern-Gelach实验的精度并不能直接计算出自旋的数值。之所以得出半整数的自旋，是因为测出了两个自旋的本征态，并且相邻状态的“步长”必须是整数（单位是普朗克常数），倒推出自旋是半整数。
“步长”必须是定值乃至整数值，是因为可测的态是相干的增强态，而相干必须满足一定的周期性边界条件。最初是玻尔发现，只有假设角动量是一格一格跳跃的，且每格高度正好是1，原子的能级分布才能和氢原子发出的光谱颜色对上号。
法国应用哲学院受训哲学咨询师
成人和青少年哲思教师
开创并实践DCS综合助人体系
中国科学技术大学物理学学士
艺术鉴赏与评论者
语言爱好者，掌握英法德语
四川省妇女儿童发展促进会会员
合著有《写给父母的未来之书》
著有《人性中的病与药》《观察言辞》
少年得到“科普专栏作者”
