【26年步步高高中物理选择性必修一学习笔记第二章3简谐运动的回复力和能量

章末测评验3　简谐运动的回复力和能量

[学习目标]　1.理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征(重点)。2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律(重点)。3.会用能量守恒的观点分析弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律(重难点)。

一、简谐运动的回复力

如图所示为水平方向的弹簧振子模型。

(1)当小球离开O点后，是什么力使其回到平衡位置的？

(2)使小球回到平衡位置的力与小球离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？

答案　(1)弹簧的弹力使小球回到平衡位置。

(2)弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。

1．回复力

(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。

(2)方向：总是指向平衡位置。

(3)表达式：F＝－kx。式中“－”号表示F与x方向相反。

2．简谐运动

理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－kx的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。

1．在劲度系数为k、原长为L₀的固定于一点的弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球上下振动，弹簧始终没有超出弹性限度，小球的振动是简谐运动吗？如果是，什么力充当回复力？

答案　规定向下为正方向，在平衡位置b点，有mg＝kx₀，小球在c点受到的弹力大小为F′＝k(x＋x₀)，小球在c点受到的回复力F＝mg－F′＝mg－k(x＋x₀)＝mg－kx－kx₀＝－kx，回复力满足F＝－kx，是简谐运动。弹簧弹力和重力的合力充当回复力。

2.如图所示，质量为m的木块随质量为M的滑块在光滑的地面上一起做简谐运动，试分析木块的回复力来源。

答案　木块的回复力由静摩擦力提供。

(1)小球做简谐运动，它的加速度a与位移x的大小成正比，方向相反。(　√　)

(2)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　×　)

(3)简谐运动的回复力公式中，k是比例系数，不一定是劲度系数。(　√　)

(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)

A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用

B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用

C．小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大

D．小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置

答案　AD

解析　弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确。

(多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k₁和k₂，且k₁＝k，k₂＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　　)

A．m做简谐运动，OC＝OB

B．m做简谐运动，OC≠OB

C．回复力F＝－kx

D．回复力F＝－3kx

答案　AD

解析　以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受回复力：F＝－(k₁x＋k₂x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB，故A、D正确。

1．回复力的性质

回复力是根据力的效果命名的，可能由弹簧弹力、弹簧弹力与重力的合力或者静摩擦力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。

2．判断振动物体是否做简谐运动的方法

(1)振动物体的回复力满足F＝－kx；

(2)振动物体的位移x与时间t满足x＝Asin(2πTt＋φ)函数关系；

(3)振动物体的振动图像是正弦曲线。

二、简谐运动的能量

如图所示为水平弹簧振子，小球在A、B之间做往复运动。

(1)从A到B的运动过程中，小球的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？

(2)如果使小球振动的振幅增大，小球回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？

答案　(1)小球的动能先增大后减小；弹簧的弹性势能先减小后增大；总机械能保持不变。

(2)小球回到平衡位置的动能增大；振动系统的机械能增大；振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关。

1．能量转化

弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。

(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。

(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。

2．能量特点

在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。

3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。

(1)在简谐运动中，任意时刻的动能与势能之和保持不变。(　√　)

(2)对同一个振动系统，振幅越大，系统机械能也一定越大。(　√　)

(3)做简谐运动的物体在向平衡位置运动时，由于物体振幅减小，故系统总机械能减小。(　×　)

(多选)在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是(　　)

A．OB越长，系统的机械能越大

B．在运动过程中，物块A的机械能守恒

C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小

D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小

答案　AC

解析　在简谐运动中，振动系统的机械能跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，系统的机械能越大，A正确；在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，B错误；在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处动能最大，势能最小，C正确，D错误。

三、简谐运动中各物理量的变化

小球在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，根据简谐运动中各物理量变化的特点，填写表格。

答案

(1)当做简谐运动的物体的位移减小时，其速度和加速度的方向一定相同。(　√　)

(2)当做简谐运动的物体的速度变化最快时，其动能最大。(　×　)

(3)当做简谐运动的物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小。(　×　)

(4)在做简谐运动的物体的动能相等的两个时刻，其加速度一定相同。(　×　)

(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t₁时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t₂时刻，小球的速度与t₁时刻的速度大小相等、方向相同，(t₂－t₁)<T2，如图所示，则(　　)

A．t₂时刻小球的加速度一定跟t₁时刻的加速度大小相等、方向相反

B．在t₁～t₂时间内，小球的加速度先减小后增大

C．在t₁～t₂时间内，小球的动能先增大后减小

D．在t₁～t₂时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大

答案　ABC

解析　由题图可知t₁、t₂时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确；在t₁～t₂时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确；在t₁～t₂时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动的机械能守恒，D错误。

分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧

1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。

2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。

课时对点练

1～8题每题7分，共56分

考点一　简谐运动的回复力

1．(多选)关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是(　　)收卷(二)

(时间：75分钟　满分：100分)

一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.关于做简谐运动物体的位移、速度、加速度的关系，下列说法中正确的是(　　)

A.位移减小时，速度增大，加速度也增大

B.位移方向总跟加速度方向相反，但跟速度方向相同

C.物体远离平衡位置运动时，速度方向跟位移方向相同

D.物体通过平衡位置时，回复力为零，故处于平衡状态

答案　C

解析　位移减小时，速度增大，加速度减小，故A错误；位移方向总跟加速度方向相反；当物体远离平衡位置时，位移方向与速度方向相同，当物体靠近平衡位置时，位移方向与速度方向相反，故B错误，C正确；物体通过平衡位置时，回复力为零，但合外力不一定为零，所以不一定处于平衡状态，故D错误。

2.一个弹簧振子在M、N之间做简谐运动。O为平衡位置，P、Q是振动过程中关于O对称的两个位置，下列说法正确的是(　　)

A.振子在从M点向N点运动的过程中，动能先减小后增大

B.振子在O、P间与O、Q间的运动时间相等

C.振子运动到P、Q两点时，位移相同

D.振子在从M点向N点运动的过程中，加速度先增大后减小

答案　B

解析　振子在从M点向N点运动的过程中，动能先增大后减小，A错误；由对称性可知，振子在O、P间与O、Q间的运动时间相等，B正确；由对称性可知，振子运动到P、Q两点时，位移等大反向，C错误；振子在从M点向N点运动的过程中，加速度先减小后增大，D错误。

3.做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的94倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的23，则单摆振动的(　　)

A.周期不变，振幅不变　B.周期不变，振幅变小

C.周期改变，振幅不变　D.周期改变，振幅变大

答案　B

解析　由单摆的周期公式T＝2πlg)可知，单摆摆长不变，则周期不变；摆球经过平衡位置的速度减小而摆动周期不变，则一个周期内通过的路程变小，即振幅变小，故B正确。

4.如图所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox坐标轴。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达A点。则小球在第一个周期内的振动图像为 (　　)

答案　A

解析　小球经过B点时开始计时，即t＝0时小球的位移为正向最大，经过0.5 s首次到达A点，位移为负向最大，且周期为T＝1 s。故A项图像正确。

5.一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸，当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像。记录笔与记录纸之间的摩擦和空气阻力都可忽略不计。y₁、y₂、x₀、2x₀为纸上印迹的已知位置坐标，则以下说法正确的是(　　)

A.振子平衡位置的纵坐标是y＝y1－y22

B.该弹簧振子的振动周期为x0v

C.振子在坐标\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y2)位置时加速度最大

D.匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，振子振动的周期变为原来的12

答案　C

解析　根据简谐振动对称性可知，平衡位置纵坐标为y＝y1＋y22，故A错误；由图像可知，振子在一个周期内沿x轴负方向的位移大小为2x₀，水平速度大小为v，则振子的周期T＝2x0v，故B错误；由图可知，振子在坐标\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y2)位置时处于最大位移处，则回复力最大，由牛顿第二定律知加速度最大，故C正确；弹簧振子的周期只与弹簧振子本身有关，匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，则一个周期内纸带沿x轴负方向运动的位移增大为原来的2倍，弹簧振子的周期不变，故D错误。

6.甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以断定(　　)

A.甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2

B.甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3

C.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆摆长之比是9∶4

D.若甲、乙两单摆摆长相同，在不同地点摆动，则甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4

答案　D

解析　根据图像可知，甲和乙的周期之比为T_甲∶T_乙＝2∶3，故A错误；因为f＝1T，所以甲、乙的频率之比为f_甲∶f_乙＝3∶2，故B错误；根据单摆的周期公式可知T＝2πlg)，同一地点，重力加速度相同，则甲、乙的摆长之比和周期的平方成正比，即为4∶9，故C错误；摆长相同，重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4，故D正确。

7.如图甲所示，金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端。小球在斜面上做简谐运动，到达最高点时，弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向，小球的振动图像如图乙所示。则(　　)

A.弹簧的最大伸长量为4 m

B.t＝0.2 s时，弹簧的弹性势能最大

C.t＝0.2 s到t＝0.6 s内，小球的重力势能逐渐减小

D.t＝0到t＝0.4 s内，回复力的冲量为零

答案　C

解析　小球的振幅等于振子位移的最大值，由图乙读出，振幅为A＝2 cm，由于当振子到达最高点时，弹簧处于原长，所以弹簧的最大伸长量为2A＝4 cm，A错误；t＝0.2 s时，弹簧处于原长，弹簧的弹性势能最小，为零，B错误；t＝0.2 s到t＝0.6 s内，小球由最高点向最低点运动，小球的重力势能逐渐减小，C正确；t＝0时小球经过平衡位置沿斜面向上运动，t＝0.4 s时小球经过平衡位置沿斜面向下运动，回复力方向都为斜向下，根据动量定理可知回复力的冲量不为零，D错误。

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。)

8.弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过4 s振子第一次经过P点，又经过了1 s，振子第二次经过P点，则该简谐运动的周期为(　　)

A.5 s  B.6 s

C.14 s  D.18 s

答案　BD

解析　如图，假设弹簧振子在水平方向B、C之间振动，

若振子计时开始先向右振动，振子的振动周期为T＝4×(4＋12) s＝18 s

若振子计时开始先向左振动，设振子的振动周期为T′，则T′2＋(T′4－12)＝4 s

解得T′＝6 s，故B、D正确。

9.(2023·湘鄂冀三省七校联考)如图所示为一单摆做简谐运动时的速度随时间变化的图像，不考虑空气阻力的影响，下列说法正确的是(　　)

A.此单摆的摆长约为1 m

B.t＝1 s时单摆的回复力为零

C.若减小释放单摆时的摆角，单摆的周期变小

D.将此单摆从赤道移至北极，单摆的周期变小

答案　AD

解析　此单摆的周期为T＝2 s，则根据T＝2πlg)，可得摆长l＝gT24π2＝9.8×224×3.142 m≈1 m，选项A正确；t＝1 s时单摆的速度为零，此时单摆的回复力最大，选项B错误；单摆的周期与摆角无关，选项C错误；将此单摆从赤道移至北极，则重力加速度变大，根据T＝2πlg)，单摆的周期变小，选项D正确。

10.将一个力传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆振动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出下列判断，其中正确的是(　　)

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