基本不等式学习笔记
基本不等式是高中数学求最值、证明不等式的核心工具，也是高考高频考点。使用时需牢牢把握一正、二定、三相等的原则，先判断条件是否满足，再选择合适的方法解题，规范书写步骤，严谨验证等号成立条件。
一、知识回顾
1. 基本不等式
若 ， 则 ， 当且仅当 时取等号。
示例验证：
，因为 ，所以 ；，因为 ，所以
2. 核心推论
结论①：和定积最大
若 （定值）， 因为 ，， 所以 ， 当且仅当 时取等号， 所以 的最大值为 。
结论②：积定和最小
若 （定值）， 因为 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号， 所以 的最小值为 。
二、例题演练
例1：若 ，求 的最小值。
因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最小值为 。
变式1：若 ，求 的最大值。
解： 因为 ，所以 ， 因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以最大值为 。
变式2：若 ，求 的最小值。
解：原式等于 ， 因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ， 所以最小值为 。
变式3：若 ，求 的最大值。
解：原式等于 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号， 所以最大值为 。
变式4：若 ，求 的最小值。
解：令 ， 因为 ， 所以 ， 原式等于 ， 因为 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以最小值为 。
变式5：若 ，求 的最小值。
解：原式等于 ， 因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以原式 ， 所以最小值为 。
例2：若 ，求 的最小值。
解：原式等于 ， 因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 ，结合 ，得 时取等号， 所以最小值为 。
变式1：若 ，求 的最小值。
解：原式等于 ， 因为 ， 当且仅当 ，结合 ，得 时取等号， 所以最小值为 。
变式2：若 ，求 的最小值。
解：原式等于 ， 因为 ， 当且仅当 ，结合条件，得 时取等号， 所以最小值为 。
变式3：若 ，求 的最小值。
解：两边同除 ， 所以 ， 原式等于 ， 因为 ， 当且仅当 ，结合条件，得 时取等号， 所以最小值为 。
变式4：若 ，求 的最小值。
解：因为 ， 原式等于 ， 因为 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以最小值为 。
变式5：若 ，求 的最小值。
解：因为 ， 所以 ， 令 ， 所以 ， 原式= = = ， 因为 ， 当且仅当 ，即 ， 结合 ，得 ，对应 ，满足 ，可取等， 所以原式 ， 所以最小值为 。
三、方法总结
1. 核心原则：一正、二定、三相等
- 一正：各项必须为正数，若为负数需先转化为正数再计算；
- 二定：构造和或积为定值的形式，这是使用基本不等式的关键；
- 三相等：严格验证等号成立条件，若等号取不到，需改用函数单调性等方法求最值。
2. 常用解题技巧
技巧1：配凑法
通过拆项、添项、凑系数，将式子转化为基本不等式的标准形式。
适用场景：如 （）、凑系数后的式子等。
技巧2：常数代换法
利用已知线性等量关系整体乘入，构造互为倒数的分式结构，实现“化和为积、产生定值”。
适用场景：已知两个正数（倒数的）的线性组合为定值，求倒数的（正数的）线性组合的最值。
技巧3：换元法
通过换元简化复杂式子，转化为熟悉的基本不等式结构。
适用场景：如分母为一次式的分式、含复合结构的式子等。
3. 书写规范步骤
- 对式子进行配凑、换元或常数代换，构造和或积为定值的形式，满足“二定”；
- 验证等号成立条件，确认是否满足变量范围，满足则取等，不满足则调整方法；
4. 易错警示
https://pan.baidu.com/s/1JSDC-fOMviLuTUWeda_BPA?pwd=8bkv
提取码：8bkv
PDF版本：
https://pan.baidu.com/s/1yD-ti_rCF3G2AQYNzbXS3w?pwd=8bkv 提取码：8bkv
