一、不等式的基本概念
1. 定义
用符号 >（大于）、<（小于）、≥（大于等于）、≤（小于等于）、≠（不等于）连接两个代数式，表示它们之间的大小关系的式子，叫做不等式。
2. 不等式的解与解集
不等式的解：使不等式成立的一个未知数的值。
不等式的解集：使不等式成立的所有未知数的值的集合。
解不等式：求不等式解集的过程。
3. 不等式的基本性质
性质 | 内容 | 示例 | 注意 |
|---|
1 | 若 a>b，则 a±c>b±c | 5>3⇒5+2>3+2 | 两边同时加/减同一个数，不等号方向不变 |
2 | 若 a>b,c>0，则 ac>bc或 ca>cb | 4>2⇒4×3>2×3 | 乘/除以正数，不等号方向不变 |
3 | 若 a>b,c<0，则 ac<bc或 ca<cb | 4>2⇒4×(−1)<2×(−1) | 乘/除以负数，不等号方向改变 |
二、一元一次不等式
1. 定义
只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
一般形式：ax+b>0或 ax+b<0（a=0）。
示例：2x−5<3，3(x+1)≥2x。
2. 解法步骤
与解一元一次方程类似，但需注意不等号方向：
去分母：两边同乘各分母的最小公倍数（若乘负数，不等号方向改变）。
去括号：用乘法分配律展开。
移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边（移项要变号）。
合并同类项：化简成 ax>b或 ax<b的形式。
系数化为1：两边同除以未知数的系数 a（若 a<0，不等号方向改变）。
3. 示例
解不等式 3x−2<7x+4：
移项：3x−7x<4+2
合并：−4x<6
系数化为1：x>−23（除以负数，不等号方向改变）
三、一元一次不等式组
1. 定义
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。
2. 解集
不等式组中各个不等式解集的公共部分。
3. 解集的确定（数形结合）
用数轴表示各不等式的解集，找重叠部分：
不等式组 | 解集 | 口诀 | 数轴示意（简） |
|---|
{x>ax>b(a<b) | x>b | 同大取大 | (a)-----(b)=====> |
{x<ax<b(a<b) | x<a | 同小取小 | <=====(a)-----(b) |
{x>ax<b(a<b) | a<x<b | 大小小大中间找 | (a)=====( )=====(b) |
{x<ax>b(a<b) | 无解 | 大大小小找不到 | <=====(b) (a)=====> |
4. 解法步骤
分别解出不等式组中每个一元一次不等式的解集；
在数轴上表示出各个解集；
找出解集的公共部分，即为不等式组的解集；
写出最终解集（若无公共部分，注明“无解”）。
四、易错提醒
不等号方向：
乘/除以负数时，必须改变不等号方向（最常考！）；
例：−2x>6⇒x<−3（勿写成 x>−3）。
解集的表示：
用数轴表示时，“>”“<”用空心圆圈，“≥”“≤”用实心圆点；
例：x≥2在数轴上是从2出发向右的射线，2处为实心点。
“无解”的判断：
若两个不等式的解集在数轴上无重叠，则不等式组无解（如 x>3且 x<1）。
与方程的区别：
方程是“=”，解是确定的数值；
不等式是“>”“<”等，解是一个范围（解集）。
五、总结
核心概念 | 关键要点 |
|---|
不等式的性质 | 加减不变向，乘除正数不变向，乘除负数变向 |
一元一次不等式 | 解法类比方程，注意乘除负数变号 |
不等式组 | 解集是公共部分，用数轴找重叠区域 |
数轴表示 | 空心圈（> <），实心点（≥ ≤） |
