大学无意间在图书馆看到了齐民友的《重温微积分》，我埋下了“重温”的种子，想着某一天兜兜转转，要绕回来看看。我知道大学的数学物理没有学好，靠考前突击混了四年。近几年探索人文艺术，感受到了“另一片大陆”的限制，常常想重温理科。今年，终于借由Cohen的《量子力学》开了个头。
杨振宁先生的一些话是我此次重温的准则。一次讲座中，他说，一次他见到一位聪慧的学生，对于物理问题对答如流。杨先生问他，你觉得量子力学中有什么想法是妙的？他答不出。这次再学量子力学，我不要求自己能推导出所有公式，会做题，而是把重心放在审美上，去思考有什么想法是不平凡的？
杨先生还说到他的博士导师泰勒，一天有十个想法，可能有九个半是错的，但是哪怕只有半个是对的，日积月累，也能前进不少。所以，我把学习时的心得和理解记录下来，不管对不对，先集中发到公众号上来，作为自我督促。
波函数空间的基，简单来说就两种，一种是空间内的，离散的基，一种是空间外（非平方可积的），连续的基。为什么要两种基？因为一些能量状态是量子化的，一些是连续的能量谱。
制备基对于学习非常重要。比如数学，哲学，玄学的基础概念和思维方式，这些是离散基。孕育各种直觉，比如面对一幅画，一个人理解和审美的直觉，一片土地劳作的状态，这些是连续基（因为直觉不可还原成离散量）。之后无论人工智能变出什么玩意，都要靠这些基去展开即可。回归人性的本征态。
1）用勒贝格积分将一些在零测集上“跳脱”的函数抹平，因为单点的物理量不可测。抹平以后向量空间的零点就只是零向量。这就满足了希尔伯特空间的一个要求。
2）平方可积函数的内积是有限的，有 Cauchy-Schwarz 不等式保证，这个是平方可积空间和希尔伯特空间的一个“牵拉”。
3）Riesz-Fischer 定理保证如果态矢序列的范数收敛，那么无限求和过以后的态仍然在态空间。这也是符合物理测量的。
4）先引入线性泛函而不是左矢更有物理意义，因为线性泛函把向量映射到复数，就是一个测量过程。
5）而且这个测量过程根据 Riesz Representation theorem 在希尔伯特空间内只能是跟唯一一个对偶空间的矢量求内积。
6）由于物理算符（如动量）要求函数必须可导且衰减够快，通常将态空间限制在希尔伯特空间的稠密子空间中。这就导致了物理态空间和包含狄拉克函数等广义函数的对偶空间不同构。
7）态空间的元素变少会导致对偶空间膨胀。因为目的是映射到复数，对态的要求高，对操作的要求就可以低。一个典型的例子就是对偶空间有德尔塔函数，但是它不对应某个可归一化的物理量子态。
1）基的变换矩阵是幺正矩阵，这是保证模长和内积在表象变换下不变，则物理量谱的分布不变。
2）本征方程形式上一个不平凡的点是，等式一侧是测量值乘上量子态（可显示量乘上不可显示之物）。
3）如何保证本征值就是测量值，而不是其倍数？这由量子力学基本公设规定，算符的构造确保了其本征值直接对应观测到的物理量。不过我们可以用以下方式验证，即将观察算符左右乘上量子态并作谱分解，一侧是测量量的期望，另一侧是加权概率，那么加权值只能是可能的测量值。
4）厄米算符有且仅有 N 个线性无关的正交本征基底。这意味着测量的完备性。N 维希尔伯特空间有 N 个自由度，通过测量可以提取全部信息。
1）对易算符 B 能够保证 A 的本征子空间的稳定，也就是说，已经测量物理量 A=a 之后，再去测量 B，不会干扰 A=a 的确定性。这样就可以允许一个连续的、逐步确定的过程，即我们可以通过连续的测量来逐步增加对于系统的认识，那么自然的，我们可以增加可对易算符来逐步地确定更多的基，并最终在态空间里确定唯一的基。
2）两个算符可对易是一个很强的条件，强过这个数学表达式表面上似乎包含的信息量。因为可以推导出一个充分必要条件就是，当 A 和 B 对易，那么它和 B 的每一个本征子空间的投影算符都对易。
3）波函数空间和态空间的关系。波函数空间就像是一个幽灵，它是弥散在整个空间的概率幅，并且只是在平方积分的意义下是可测的。但是态空间将波函数转化成了若干个本体，每一个本体都有它的本征值和本征态。波函数让人“难受”，因为他的信息是互相纠缠搅扰的，是通过微分方程互相勾连的。相比之下 希尔伯特空间有一种简单的分离的美，像串珠一样。
4）X, Py, Pz 构成一个 CSCO，这揭示了不确定原理只在共轭变量上造成模糊，而不是全方位的混乱。空间自由度是相对独立的，我们可以通过在一个平面上确定动量和在它的垂直线上确定坐标，也就是说，可以通过维度错位来获得一个量子态的全部信息。
1）第一个假定规定了在确定的时刻，物理体系的态可以由态空间的一个矢量确定，也就是把单个粒子的量子态推广到了任意物理体系。为什么任意物理体系都满足？因为在实验中必须满足线性叠加性，必须可测概率 并且概率是有限可归一的，这基本上就锁死了 Hilbert 空间。
2）为什么只规定态的表示，还没有描述态的变化？因为在经典力学里头，态就内嵌在了态的变化的轨道中，而在量子力学当中 态的演化由薛定谔方程确定，但微观粒子没有轨道。只是在特定情况下，态才能够写成可导的函数。
3）第二条假定是把任何一个可测的物理量都可以写成一个观察算符。而经典力学当中 任何一个物理量都是相空间的一个数。但是在量子力学当中 任何一个测量都是一种分解，也就是把一个态劈成多个可能的态。第二个区别是，在经典力学当中 所有的物理量都是同时存在的数，那在量子力学当中 他们有可能是不能同时测准的。
4）第三个假定是本征值的假定。这个是由以下实验现象规定的，一个是每一次测量结果都是一个确定的数，而不是一团分布或者是震荡的值。第二点是如果系统已经有了一个确定的值，再测量一遍的话 测量结果不变。这意味着测量行为使系统塌缩到了稳定的本征态。
5）第四个假定是谱分解原理，它实际上是把物理量的测量转化成了一种几何操作，也就是向本征空间的几何投影。注意观察算符一定是可以被对角化的，我们一定可以找到一种“干净”的基础分解形式。并且这个时候测量的结果的概率分布，是由态空间的几何结构决定的。
法国应用哲学院受训哲学咨询师
成人和青少年哲思教师
开创并实践DCS综合助人体系
中国科学技术大学物理学学士
艺术鉴赏与评论者
语言爱好者，掌握英法德语
四川省妇女儿童发展促进会会员
合著有《写给父母的未来之书》
著有《人性中的病与药》《观察言辞》
少年得到“科普专栏作者”
